Калькулятор биномиального распределения

Калькулятор биномиального распределения. Точный расчёт вероятности числа успехов в серии независимых испытаний. Онлайн вычисление P(X=k), кумулятивной вероятности, математического ожидания и дисперсии с примерами и формулами.

Обновлено: 13 мая 2026 г.

Точный расчёт вероятности числа успехов в серии независимых испытаний с постоянной вероятностью исхода — быстро, наглядно и с подробной расшифровкой.

Число испытаний (n)

Число успехов (k)

Вероятность успеха в одном испытании (p) Введите десятичную дробь (0.35) или проценты (35) — калькулятор поймёт автоматически.

—

Вероятность ровно k успехов

P(X = k)

—

Кумулятивная вероятность (≤ k)

P(X ≤ k)

—

Вероятность не менее k успехов

P(X ≥ k)

—

Математическое ожидание

E(X) = n·p

—

Дисперсия

D(X) = n·p·(1−p)

—

Среднеквадратическое отклонение

σ = √D(X)

Как пользоваться калькулятором

Введите число испытаний n — сколько всего раз проводится эксперимент (например, подбрасывание монеты 20 раз, n = 20).

Укажите число успехов k — сколько раз ожидается благоприятный исход (например, выпадение орла 7 раз из 20, k = 7).

Задайте вероятность успеха p в одном испытании. Можно ввести десятичной дробью (0.35) или в процентах (35) — значение больше 1 автоматически разделится на 100. Для монеты p = 0.5.

Нажмите «Рассчитать» — в правой панели появятся числовые результаты: точная вероятность, кумулятивная вероятность, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение.

Примеры расчёта

Сценарий 1: Подбрасывание монеты

n = 20 испытаний, k = 7 успехов (орлов), p = 0.5. Вероятность выпадения ровно 7 орлов: P(X = 7) ≈ 0.0739 (около 7.4%). Кумулятивная вероятность не более 7 орлов: P(X ≤ 7) ≈ 0.1316. Ожидаемое число орлов: E(X) = 10.

Сценарий 2: Контроль качества

На заводе вероятность брака детали p = 0.03. Проверяют n = 100 деталей. Число бракованных k = 2. Вероятность найти ровно 2 бракованные детали: P(X = 2) ≈ 0.2252. Вероятность не более 2 бракованных: P(X ≤ 2) ≈ 0.4162. Ожидаемое число брака: E(X) = 3.

Сценарий 3: Маркетинговая рассылка

Вероятность открытия письма p = 0.12. Отправлено n = 500 писем. Интересует k = 70 открытий. Вероятность ровно 70 открытий: P(X = 70) ≈ 0.0243. Кумулятивная вероятность до 70 открытий включительно: P(X ≤ 70) ≈ 0.8140.

Формулы расчёта

Биномиальное распределение описывается следующими формулами:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

где C(n, k) — биномиальный коэффициент (число сочетаний из n по k):

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Кумулятивная вероятность (не более k успехов):

P(X ≤ k) = Σᵢ₌₀ᵏ C(n, i) · pⁱ · (1 − p)ⁿ⁻ⁱ

Математическое ожидание (среднее число успехов):

E(X) = n · p

Дисперсия (разброс значений):

D(X) = n · p · (1 − p)

Среднеквадратическое отклонение:

σ = √(n · p · (1 − p))

Обозначения: n — общее число независимых испытаний; k — число успехов (0 ≤ k ≤ n); p — вероятность успеха в одном испытании (0 < p < 1); C(n, k) — биномиальный коэффициент; ! — факториал числа.

Пошаговое объяснение

Рассмотрим пример с монетой: n = 20 подбрасываний, k = 7 орлов, p = 0.5. Как калькулятор получает результат?

Вычисляем биномиальный коэффициент C(20, 7) — это число способов выбрать 7 успешных испытаний из 20. C(20, 7) = 20! / (7! · 13!) = 77520.

Возводим вероятность успеха в степень k: pᵏ = 0.5⁷ = 0.0078125. Возводим вероятность неудачи в степень (n−k): (1−p)ⁿ⁻ᵏ = 0.5¹³ ≈ 0.00012207.

Перемножаем: P(X = 7) = 77520 × 0.0078125 × 0.00012207 ≈ 0.0739. Именно эту величину вы видите в результате.

Для кумулятивной вероятности суммируем значения P(X = i) для всех i от 0 до k. Для математического ожидания просто умножаем n на p: 20 × 0.5 = 10.

Где применяется

Контроль качества на производстве — оценка вероятности определённого числа бракованных изделий в партии, планирование выборочных проверок.
Медицинская статистика — расчёт вероятности определённого числа пациентов с побочным эффектом при испытаниях лекарств, анализ эффективности лечения.
Маркетинг и A/B-тестирование — прогнозирование числа конверсий, открытий писем, кликов по рекламе при известной средней конверсии.
Финансы и риск-менеджмент — моделирование числа дефолтов по кредитам в портфеле, оценка вероятности убытков при заданной вероятности невозврата.
Спортивная аналитика — расчёт вероятности определённого числа побед команды в серии матчей, прогнозирование результатов турниров.
Образование и наука — изучение основ теории вероятностей, решение задач на ЕГЭ и олимпиадах, статистический анализ экспериментальных данных.

Важные нюансы

Биномиальное распределение применимо только для независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха p. Если вероятность меняется от испытания к испытанию, модель не работает.
Результаты округляются до 4 знаков после запятой. При очень малых вероятностях (менее 0.0001) значение может отображаться как 0 — это не ошибка, а следствие ограниченной точности отображения.
При больших n (более 100) и значениях p, близких к 0 или 1, биномиальное распределение хорошо аппроксимируется распределением Пуассона. Наш калькулятор считает точно, но время вычисления кумулятивной вероятности может быть заметным при очень больших n.
Математическое ожидание E(X) = n·p — это среднее число успехов, которое вы получите при многократном повторении всей серии из n испытаний.
Дисперсия характеризует разброс возможных значений вокруг математического ожидания. Чем больше дисперсия, тем сильнее фактические результаты могут отличаться от среднего.
При p > 1 значение автоматически интерпретируется как проценты и делится на 100. Будьте внимательны: если вы введёте 35, калькулятор поймёт это как p = 0.35.

Частые ошибки

Путаница с процентами. Пользователи часто вводят 35 вместо 0.35. Калькулятор автоматически делит значения больше 1 на 100, но лучше сразу вводить десятичную дробь (0.35) для гарантии.
Отрицательное число испытаний. n не может быть отрицательным или нулевым — это физически бессмысленно. Калькулятор выдаст ошибку при n ≤ 0.
k больше n. Нельзя ожидать больше успехов, чем проведено испытаний. Если k > n, результат невозможен, и калькулятор сообщит об ошибке.
Забывают про независимость. Биномиальное распределение требует независимости испытаний. Если исход одного испытания влияет на другое (например, выборка без возвращения), нужно использовать гипергеометрическое распределение.
Игнорирование кумулятивной вероятности. Часто ищут вероятность «хотя бы 7 успехов», но используют формулу для ровно 7. Для «хотя бы k» смотрите результат P(X ≥ k).
Слишком большое n. При n > 200 прямые вычисления биномиальных коэффициентов становятся ресурсоёмкими. Калькулятор ограничивает n значением 200 для быстродействия и точности.

Ответы на частые вопросы

Вопрос: Чем биномиальное распределение отличается от нормального?

Биномиальное распределение дискретно (целые числа успехов) и описывает конечное число испытаний. Нормальное распределение непрерывно и является приближением биномиального при больших n. Для малых n они дают разные результаты.

Вопрос: Как интерпретировать результат «Вероятность не менее k успехов»?

Это сумма вероятностей для k, k+1, ..., n успехов. Например, P(X ≥ 7) = P(X=7) + P(X=8) + ... + P(X=20). Используйте этот показатель, когда важно знать шанс достичь как минимум заданного уровня.

Вопрос: Что делать, если p = 0 или p = 1?

При p = 0 успех невозможен, вероятность k успехов равна 1 только при k = 0 (иначе 0). При p = 1 успех гарантирован, P(X = n) = 1. Калькулятор корректно обрабатывает граничные случаи.

Вопрос: Можно ли использовать калькулятор для проверки статистических гипотез?

Да, кумулятивная вероятность P(X ≤ k) и P(X ≥ k) часто используются для расчёта p-value в биномиальных тестах. Сравните полученное значение с уровнем значимости α (обычно 0.05).

Вопрос: Почему результаты для больших n могут незначительно отличаться от табличных значений?

Из-за округления промежуточных вычислений в JavaScript (64-битная арифметика с плавающей точкой) возможны расхождения в последних знаках. Для учебных и практических целей точности более чем достаточно.

Вопрос: Как связаны биномиальное распределение и схема Бернулли?

Биномиальное распределение — это распределение числа успехов в схеме Бернулли (серии независимых испытаний с двумя исходами). Схема Бернулли — модель, а биномиальное распределение — её вероятностное описание.

Источники и справочные данные

Расчёт основан на стандартных формулах теории вероятностей и математической статистики из раздела «Биномиальное распределение». Использованы определения биномиального коэффициента, факториала и свойств дискретных распределений согласно вузовскому курсу теории вероятностей (Гмурман В.Е., Вентцель Е.С.) и школьному курсу алгебры. Для учебных и справочных целей; при ответственных статистических расчётах рекомендуется проверять результат в специализированном ПО (R, Python scipy.stats, Statistica).

Биномиальное распределение: полное руководство

Биномиальное распределение — одна из фундаментальных моделей теории вероятностей. Оно описывает количество успехов в фиксированной серии независимых испытаний, где каждое испытание имеет ровно два возможных исхода: «успех» или «неудача». Несмотря на кажущуюся простоту, эта модель лежит в основе огромного числа практических приложений — от контроля качества на заводах до анализа эффективности лекарств и прогнозирования результатов выборов.

Что такое биномиальное распределение простыми словами

Представьте, что вы подбрасываете монету 20 раз. Каждый бросок независим от предыдущих, вероятность выпадения орла всегда равна 0.5. Число выпавших орлов — случайная величина, распределённая биномиально. Параметры: n = 20 испытаний, p = 0.5 — вероятность успеха в одном испытании.

Биномиальное распределение отвечает на вопрос: «Какова вероятность, что ровно k испытаний из n закончатся успехом?» Формула биномиального распределения объединяет комбинаторику (сколько способов выбрать k успешных позиций из n) и вероятностную часть (вероятность конкретной цепочки успехов и неудач).

Ключевые условия применимости: испытания должны быть независимыми, вероятность успеха p постоянна от испытания к испытанию, и каждое испытание имеет ровно два исхода. Если условия нарушаются — например, выборка без возвращения меняет вероятность, — биномиальное распределение заменяется гипергеометрическим.

Формула биномиального распределения и её компоненты

Основная формула, которую использует наш калькулятор вероятности:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

Разберём каждый компонент: C(n, k) — биномиальный коэффициент, равный n!/(k!·(n−k)!). Он показывает, сколькими различными способами можно расположить k успехов среди n испытаний. Например, для n = 5 и k = 2 существует C(5,2) = 10 различных последовательностей из двух успехов и трёх неудач.

pᵏ — вероятность того, что в k конкретных испытаниях произойдёт успех. (1−p)ⁿ⁻ᵏ — вероятность того, что в оставшихся n−k испытаниях произойдёт неудача. Произведение pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ даёт вероятность одной конкретной последовательности с k успехами. Умножение на C(n, k) суммирует вероятности всех таких последовательностей.

Математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения

Математическое ожидание E(X) = n·p — это теоретическое среднее число успехов при многократном повторении эксперимента. Если монету подбрасывают 20 раз с p = 0.5, ожидаемое число орлов равно 10. Это не значит, что каждый раз выпадет ровно 10 — это среднее по множеству экспериментов.

Дисперсия биномиального распределения D(X) = n·p·(1−p) измеряет разброс возможных результатов вокруг среднего. Чем ближе p к 0.5, тем больше дисперсия при фиксированном n. При p = 0.5 и n = 20 дисперсия равна 20·0.5·0.5 = 5, стандартное отклонение σ = √5 ≈ 2.24.

Стандартное отклонение полезно для быстрой оценки: примерно 68% результатов попадают в интервал E(X) ± σ, если распределение близко к симметричному (p ≈ 0.5 и достаточно большое n).

Кумулятивная вероятность и её практический смысл

В реальных задачах редко интересует вероятность ровно k успехов. Гораздо чаще важны вопросы типа «какова вероятность не более 2 бракованных деталей» или «каков шанс получить хотя бы 70 открытий письма». Для этого используется кумулятивная вероятность — сумма вероятностей для диапазона значений.

P(X ≤ k) суммирует вероятности для 0, 1, 2, ..., k успехов. P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1) — вероятность получить не менее k успехов. Наш калькулятор автоматически вычисляет обе величины, экономя время и исключая ошибки ручного суммирования.

Когда биномиальное распределение неприменимо

Биномиальное распределение формула которого основана на независимости испытаний, не работает для зависимых событий. Классический пример — вытягивание карт из колоды без возврата: вероятность вытянуть туз меняется после каждого извлечения. В таких случаях используют гипергеометрическое распределение.

Также модель не подходит, если испытания имеют более двух исходов (мультиномиальное распределение) или если вероятность p меняется со временем (нестационарные процессы). Перед применением калькулятора убедитесь, что ваша ситуация действительно соответствует схеме Бернулли.

Связь с другими распределениями

При большом n и умеренном p биномиальное распределение хорошо приближается нормальным распределением с параметрами μ = n·p и σ² = n·p·(1−p). Это следует из центральной предельной теоремы и широко используется для быстрых оценок при n > 30.

При малом p и большом n (редкие события) биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром λ = n·p. Например, вероятность брака p = 0.01 при n = 300 испытаний: λ = 3, и вместо громоздких биномиальных расчётов можно использовать таблицы Пуассона.

Практические советы по использованию калькулятора

Всегда проверяйте, что вероятность p введена корректно: значение от 0 до 1. Если вы ввели 35, калькулятор интерпретирует это как 35% (p = 0.35). Для гарантии вводите десятичную дробь. Число испытаний n должно быть целым положительным, k — целым от 0 до n. При нарушении этих условий калькулятор покажет понятное сообщение об ошибке.

Если вас интересует «хотя бы один успех», используйте k = 1 и смотрите P(X ≥ 1). Для вероятности «ни одного успеха» — P(X = 0) = (1−p)ⁿ. Калькулятор даст оба этих значения в соответствующих полях результата.