НямНям
Меню
Онлайн-инструментОнлайнБесплатно

Калькулятор квадратного корня

Онлайн-калькулятор квадратного и кубического корня, корня произвольной степени, а также нахождение корней квадратного уравнения. Быстрый расчёт с пошаговым результатом и примерами.

Обновлено: 13 мая 2026 г.
ФормулыБыстроПриватно

Калькулятор квадратного корня

Извлечение квадратного корня, корня произвольной степени и решение квадратных уравнений — быстро, точно и с подробным результатом.

Режим расчёта

По умолчанию 2 — квадратный корень. Для кубического укажите 3.

Уравнение вида: ax² + bx + c = 0. Коэффициент a не должен быть равен нулю.

—
Введите данные
и нажмите «Рассчитать»

Как пользоваться калькулятором

1
Выберите режим: «Извлечение корня» для корня любой степени или «Корни квадратного уравнения» для нахождения корней уравнения вида ax² + bx + c = 0.
2
Введите числа. Для извлечения корня укажите подкоренное число и степень (например, 144 и 2 для √144). Для квадратного уравнения — коэффициенты a, b, c (например, a=1, b=-5, c=6 для x² − 5x + 6 = 0).
3
Нажмите «Рассчитать». Результат появится в правой панели (на мобильном — под формой). Ошибки ввода подсветятся сообщением.
4
Кнопка «Сбросить» очищает все поля и возвращает результат в исходное состояние.

Примеры расчёта

Квадратный корень из 225
Входные данные: число 225, степень корня 2.
Результат: √225 = 15. Проверка: 15 × 15 = 225.
Кубический корень из 64
Входные данные: число 64, степень корня 3.
Результат: ∛64 = 4. Проверка: 4 × 4 × 4 = 64.
Корни уравнения x² − 7x + 12 = 0
Входные данные: a = 1, b = −7, c = 12.
Дискриминант D = (−7)² − 4·1·12 = 49 − 48 = 1.
Корни: x₁ = 4, x₂ = 3.

Формулы расчёта

Извлечение корня n-й степени:

ⁿ√x = x^(1/n)

где x — подкоренное число, n — степень корня (n ≥ 2, целое).
Для чётных n число x должно быть ≥ 0 (в области действительных чисел).

Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0:

D = b² − 4ac x₁ = (−b + √D) / 2a x₂ = (−b − √D) / 2a

Если D > 0 — два различных действительных корня.
Если D = 0 — один действительный корень (x₁ = x₂ = −b / 2a).
Если D < 0 — действительных корней нет (корни комплексные).

Пошаговое объяснение

Рассмотрим пример: нужно извлечь квадратный корень из 289.

  1. Определяем степень корня: n = 2 (квадратный корень).
  2. Ищем число, которое при возведении в квадрат даёт 289: пробуем 16² = 256 (мало), 17² = 289 — подходит.
  3. Результат: √289 = 17.

Для чисел, не являющихся полными квадратами, результат — иррациональное число. Например, √2 ≈ 1,4142. Калькулятор вычисляет его с точностью до 4 знаков после запятой.

Для квадратного уравнения алгоритм такой: вычисляем дискриминант D, затем по формуле находим x₁ и x₂ через квадратный корень из D.

Где применяется

  • Школьная математика и алгебра — решение уравнений, упрощение выражений, подготовка к ОГЭ и ЕГЭ.
  • Геометрия — теорема Пифагора (c = √(a² + b²)), вычисление диагоналей, расстояний между точками.
  • Физика — формулы кинематики, расчёт среднеквадратичной скорости, закон всемирного тяготения.
  • Инженерные расчёты — определение напряжений, расчёт электрических цепей, строительная механика.
  • Программирование — алгоритмы машинного обучения (RMSE), компьютерная графика (нормализация векторов), криптография.
  • Финансы — вычисление волатильности активов, расчёт стандартного отклонения доходности.

Важные нюансы

  • Квадратный корень из отрицательного числа не определён в области действительных чисел. Для таких случаев используется мнимая единица i (√−1 = i), но данный калькулятор работает только с действительными числами.
  • Корень чётной степени из отрицательного числа невозможен в действительных числах. Корень нечётной степени — возможен (например, ∛−8 = −2).
  • Результат округляется до 4 знаков после запятой. Для точных значений (целые корни) дробная часть не отображается.
  • При решении квадратного уравнения коэффициент a не должен равняться нулю — иначе уравнение становится линейным.
  • Дискриминант, близкий к нулю, может давать погрешность округления. При ответственных расчётах проверяйте результат вручную.
  • Некоторые числа (например, √2, √3, √5) являются иррациональными — их десятичная запись бесконечна. Калькулятор показывает приближённое значение.

Частые ошибки

  • Извлечение корня из отрицательного числа при чётной степени. Ошибка: пользователь вводит −25 для квадратного корня. Как избежать: проверяйте знак числа перед вычислением, для чётных степеней число должно быть ≥ 0.
  • Забывают, что a ≠ 0 для квадратного уравнения. Если a = 0, уравнение вырождается в линейное bx + c = 0. Калькулятор предупредит об ошибке.
  • Путают степень корня и показатель степени. √x — это корень второй степени, ∛x — третьей. Степень корня пишется в «домике» знака радикала, а не в показателе числа.
  • Неправильный порядок коэффициентов. В уравнении 3x² − 2x + 1 = 0: a = 3, b = −2 (не 2), c = 1. Знак минус — часть коэффициента.
  • Забывают про нулевой дискриминант. При D = 0 уравнение имеет один корень (точнее, два совпадающих). Не нужно считать, что корней нет.
  • Путают квадратный корень и деление пополам. √x — это не x/2. Например, √100 = 10, а 100/2 = 50. Это совершенно разные операции.

Ответы на частые вопросы

Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа?
В действительных числах — нет. Для этого нужны комплексные числа, где √−1 = i. Данный калькулятор работает в поле действительных чисел и выдаст ошибку при попытке извлечь корень чётной степени из отрицательного числа.

Почему √2 нельзя выразить точной десятичной дробью?
√2 — иррациональное число. Его десятичная запись бесконечна и непериодична: 1,414213562... Калькулятор показывает приближение с точностью до 4 знаков.

Что делать, если дискриминант отрицательный?
Действительных корней у квадратного уравнения нет. Это означает, что парабола не пересекает ось X. Для практических задач это нормальная ситуация — например, уравнение x² + 1 = 0 не имеет действительных решений.

Как проверить результат вручную?
Возведите полученный корень в степень n. Для квадратного корня: если √x = y, то y² должно быть равно x. Для корней уравнения: подставьте x₁ и x₂ в исходное уравнение и убедитесь, что получается 0.

Зачем нужен корень произвольной степени?
Кубический корень (n=3) применяется в расчётах объёмов, корень 4-й степени — в некоторых физических формулах. Вы можете указать любую целую степень n ≥ 2.

Насколько точен результат?
Результат округляется до 4 десятичных знаков. Этого достаточно для большинства учебных и практических задач. При необходимости более высокой точности используйте специализированное ПО.

Источники и справочные данные

Расчёт основан на стандартных математических формулах из школьного курса алгебры (8–9 классы). Метод извлечения корня — возведение в дробную степень x1/n. Решение квадратного уравнения — через дискриминант по формуле, известной с XVI века и популяризированной Франсуа Виетом.

Для учебных и справочных целей; при ответственных инженерных расчётах проверяйте результат вручную или в специализированном ПО (MATLAB, Wolfram Mathematica, инженерные калькуляторы).

Квадратный корень: полное руководство

Квадратный корень — одно из фундаментальных понятий математики, с которым знакомятся в 8-м классе и используют на протяжении всей жизни: от сдачи экзаменов до инженерных расчётов и программирования. Эта статья поможет вам разобраться в теме с нуля или освежить знания.

Что такое квадратный корень простыми словами

Квадратный корень из числа x — это такое число y, которое при умножении само на себя даёт x. Записывается как √x = y. Например, √81 = 9, потому что 9 × 9 = 81.

Если число не является полным квадратом (например, 2, 3, 5, 7), корень будет иррациональным — его нельзя записать как обыкновенную дробь, а десятичная запись бесконечна. √2 ≈ 1,4142, √3 ≈ 1,7321, √5 ≈ 2,2361.

Основные квадратные корни, которые стоит знать наизусть:

√0 = 0, √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7, √64 = 8, √81 = 9, √100 = 10, √121 = 11, √144 = 12, √169 = 13, √196 = 14, √225 = 15.

Корень n-й степени: расширяем понятие

Квадратный корень — частный случай корня n-й степени при n = 2. Корень n-й степени из x — это число, которое при возведении в степень n даёт x. Например, кубический корень из 27 равен 3 (3³ = 27), корень 4-й степени из 16 равен 2 (2⁴ = 16).

Важное правило: корень чётной степени (2, 4, 6…) из отрицательного числа в действительных числах не существует. Корень нечётной степени (3, 5, 7…) — существует. Например, ∛−125 = −5, потому что (−5)³ = −125.

Свойства квадратного корня

Знание свойств помогает упрощать выражения и быстрее считать в уме:

  • Корень из произведения: √(a·b) = √a · √b. Пример: √(4·9) = √36 = 6, и √4 · √9 = 2 · 3 = 6.
  • Корень из частного: √(a/b) = √a / √b (b ≠ 0). Пример: √(100/25) = √4 = 2, и √100 / √25 = 10 / 5 = 2.
  • Квадрат корня: (√a)² = a для a ≥ 0.
  • Корень из квадрата: √(a²) = |a| — модуль числа. Например, √((−5)²) = √25 = 5.

Связь квадратного корня и квадратных уравнений

Квадратный корень — ключевой элемент при решении квадратных уравнений вида ax² + bx + c = 0. Формула дискриминанта D = b² − 4ac содержит возведение в квадрат, а корни выражаются через √D.

Если D > 0, уравнение имеет два корня. Если D = 0 — один корень. Если D < 0 — действительных корней нет, но есть комплексные (в школьном курсе обычно говорят «корней нет»).

Пример: x² − 6x + 8 = 0
a = 1, b = −6, c = 8
D = 36 − 32 = 4
√D = 2
x₁ = (6 + 2) / 2 = 4
x₂ = (6 − 2) / 2 = 2
Проверка: 4² − 6·4 + 8 = 16 − 24 + 8 = 0 ✓

Как вычисляли квадратный корень до калькуляторов

До появления электронных калькуляторов существовало несколько методов извлечения корня вручную:

  • Метод Ньютона (касательных): итеративный метод, где каждое следующее приближение уточняется по формуле. Уже после 3–4 итераций даёт высокую точность.
  • Вавилонский метод: один из древнейших алгоритмов (около 2000 лет до н.э.). Для √S берут начальное приближение x₀ и повторяют: xₙ₊₁ = (xₙ + S/xₙ) / 2.
  • Таблицы Брадиса: в советских школах использовали четырёхзначные таблицы, где были заранее вычислены корни для чисел от 1 до 100.
  • Разложение в ряд: для чисел, близких к полным квадратам, использовали приближение через биномиальный ряд.

Теорема Пифагора и квадратный корень

Самое известное применение квадратного корня в геометрии — теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике гипотенуза c = √(a² + b²). Например, если катеты равны 3 и 4, то c = √(9 + 16) = √25 = 5 — знаменитый «египетский треугольник».

Диагональ квадрата со стороной 1 равна √2 ≈ 1,4142. Этот факт поразил древних греков: оказалось, что не все длины можно выразить отношением целых чисел — так были открыты иррациональные числа.

Практические советы

При работе с квадратными корнями полезно помнить несколько приёмов:

  • Раскладывайте число на множители и выносите полные квадраты из-под знака корня: √72 = √(36·2) = √36 · √2 = 6√2.
  • Приблизительно оценить корень можно, найдя ближайшие квадраты. Для √50: 7² = 49, 8² = 64, значит корень между 7 и 8, ближе к 7 — примерно 7,07.
  • В программировании используйте Math.sqrt() в JavaScript, sqrt() в Python, Math.sqrt() в Java — во всех языках есть встроенная функция.
  • Для быстрой проверки, является ли число полным квадратом, посмотрите на последнюю цифру: полный квадрат может заканчиваться только на 0, 1, 4, 5, 6, 9.

Квадратный корень в реальной жизни

Кажется, что корни нужны только на уроках алгебры, но это не так. Вот несколько примеров из повседневной практики:

  • Расчёт плитки для пола: если площадь комнаты 20 м², а плитка квадратная, то сторона квадратного участка — √20 ≈ 4,47 м. Это помогает прикинуть раскладку.
  • Фотография и оптика: диафрагменное число объектива связано с квадратным корнем из отношения освещённостей. Переход от f/2.8 к f/4 меняет количество света в 2 раза, потому что 4/2,8 ≈ √2.
  • Звук и музыка: частота ноты увеличивается в √2 (примерно 1,0595) раз на каждом полутоне — это равномерно темперированный строй.
  • Медицина: индекс массы тела (ИМТ) включает квадрат роста, а при расчёте дозировок лекарств иногда применяют формулы с квадратными корнями.

Квадратный корень — не просто школьная абстракция, а мощный инструмент, пронизывающий науку, технику и быт. Освоив его однажды, вы будете применять этот навык всю жизнь.

Нужен другой инструмент?

Все инструменты в категории