НямНям
Меню
Онлайн-инструментОнлайнБесплатно

Калькулятор производной функции

Бесплатный калькулятор производной функции. Вычислите значение производной в точке, получите формулу и пошаговое решение для степенных, тригонометрических, логарифмических функций и полиномов.

Обновлено: 14 мая 2026 г.
ФормулыБыстроПриватно

Калькулятор производной функции

Вычислите значение производной функции в заданной точке — быстро, точно и с подробной формулой.

—
Значение производной f'(x₀)
число
—
Формула производной f'(x)
общий вид
—
Значение функции f(x₀)
для справки

Как пользоваться калькулятором

1
Выберите тип функции из выпадающего списка — например, c · xⁿ для степенной функции или c · sin(a·x) для синуса.
2
Заполните параметры: коэффициент c, множитель a или показатель n. Для полинома укажите коэффициенты от a₀ до a₄. Пустые поля считаются нулями.
3
Введите точку x₀, в которой нужно найти значение производной. Например, x₀ = 2 для функции 3x² даст результат f'(2) = 12.
4
Нажмите «Рассчитать». Результат покажет значение производной в точке, общую формулу производной и значение исходной функции для справки.

Примеры расчёта

Пример 1: производная степенной функции
Функция: f(x) = 5x³. Параметры: c = 5, n = 3. Точка x₀ = 2. Производная: f'(x) = 15x². Значение: f'(2) = 60. Значение функции: f(2) = 40.
Пример 2: производная синуса
Функция: f(x) = 3·sin(2x). Параметры: c = 3, a = 2. Точка x₀ = π/4 ≈ 0.7854. Производная: f'(x) = 6·cos(2x). Значение: f'(0.7854) ≈ 0 (так как cos(π/2) = 0).
Пример 3: производная полинома
Функция: f(x) = 2x⁴ − 3x² + x − 7. Коэффициенты: a₄=2, a₃=0, a₂=−3, a₁=1, a₀=−7. Точка x₀ = 1. Производная: f'(x) = 8x³ − 6x + 1. Значение: f'(1) = 3.

Формулы расчёта

Калькулятор использует аналитические формулы производных элементарных функций. Ниже — основные правила и формулы.

f(x) = c · xⁿ → f'(x) = c · n · xⁿ⁻¹
f(x) = c · sin(a·x) → f'(x) = c · a · cos(a·x)
f(x) = c · cos(a·x) → f'(x) = −c · a · sin(a·x)
f(x) = c · tg(a·x) → f'(x) = c · a / cos²(a·x)
f(x) = c · ctg(a·x) → f'(x) = −c · a / sin²(a·x)
f(x) = c · ln(a·x) → f'(x) = c / x (при a·x > 0)
f(x) = c · e^(a·x) → f'(x) = c · a · e^(a·x)
f(x) = c · √(a·x) → f'(x) = c · a / (2·√(a·x))
f(x) = c · arcsin(a·x) → f'(x) = c · a / √(1 − (a·x)²)
f(x) = c · arccos(a·x) → f'(x) = −c · a / √(1 − (a·x)²)
f(x) = c · arctg(a·x) → f'(x) = c · a / (1 + (a·x)²)
f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ → f'(x) = a₁ + 2a₂x + 3a₃x² + 4a₄x³

Где c — постоянный множитель, a — коэффициент при x в аргументе, n — показатель степени.

Пошаговое объяснение

Рассмотрим пример: f(x) = 4x³ − 2x + 1 в точке x₀ = 2.

1
Дифференцируем каждый член по отдельности. Производная 4x³: выносим 4, степень 3 переходит в множитель, степень понижается: 4·3·x² = 12x².
2
Производная −2x: −2·1·x⁰ = −2. Производная константы 1 равна 0.
3
Собираем: f'(x) = 12x² − 2.
4
Подставляем x₀ = 2: f'(2) = 12·4 − 2 = 48 − 2 = 46.

Калькулятор выполняет эти шаги автоматически, мгновенно выдавая результат и формулу производной.

Где применяется

Вычисление производных — фундаментальный инструмент в математике и её приложениях. Вот основные области:

  • Школьный курс алгебры и начал анализа: решение задач на касательную, исследование функций на монотонность, экстремумы, построение графиков (например, x·(x−1)·(x−2) и подобные выражения).
  • Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ: задания на геометрический и физический смысл производной, вычисление скорости изменения функции.
  • Физика: производная координаты по времени — это скорость; производная скорости — ускорение. Расчёт мгновенных величин.
  • Экономика: предельные издержки, предельная выручка, эластичность спроса — всё это производные экономических функций.
  • Инженерные расчёты: анализ напряжений, деформаций, теплопередачи, где нужно знать скорость изменения физических величин.
  • Машинное обучение: градиентный спуск для оптимизации нейросетей — это многомерное обобщение производной.

Важные нюансы

  • Для логарифмической функции ln(a·x) аргумент должен быть строго положительным: a·x > 0. При невыполнении калькулятор покажет ошибку.
  • Для квадратного корня √(a·x) требуется a·x ≥ 0. При отрицательном подкоренном выражении производная не определена в действительных числах.
  • Арксинус и арккосинус определены только при |a·x| ≤ 1. Выход за пределы [−1; 1] даст ошибку области определения.
  • Для тангенса точки разрыва (где cos(a·x) = 0) исключаются — в них производная не существует.
  • При n < 0 в степенной функции xⁿ точка x₀ = 0 недопустима (деление на ноль).
  • Результат округляется до 6 значащих цифр после запятой для удобства чтения. При точных вычислениях сверяйтесь с аналитическим выводом.

Частые ошибки

  • Забывают про множитель a в сложной функции: для sin(2x) производная равна 2·cos(2x), а не просто cos(2x). Калькулятор учитывает это автоматически — убедитесь, что вы правильно указали параметр a.
  • Путают коэффициент c и множитель a: c — это множитель перед всей функцией, a — множитель внутри аргумента. Например, в 5·sin(3x): c=5, a=3.
  • Игнорируют область определения: подстановка x₀ = 0 в ln(x) или x₀ = −1 в √(x) даёт ошибку. Калькулятор предупредит об этом.
  • Оставляют пустыми все коэффициенты полинома: нулевой полином не имеет смысла дифференцировать — калькулятор сообщит, что функция не задана.
  • Ошибка в знаке: производная cos(x) равна −sin(x), не забывайте про минус. Калькулятор корректно выводит знак в формуле.
  • Использование градусов вместо радиан: тригонометрические функции в математическом анализе всегда работают с радианной мерой угла.

Ответы на частые вопросы

Можно ли ввести свою произвольную функцию, не из списка?

Калькулятор работает с предустановленными типами функций, которые покрывают большинство школьных и студенческих задач. Для произвольной аналитической функции вы можете разбить её на сумму или композицию табличных функций и вычислить производную по правилам.

Почему результат для ln(a·x) не зависит от a?

По свойству логарифма: ln(a·x) = ln(a) + ln(x). Константа ln(a) при дифференцировании даёт ноль, поэтому производная равна 1/x независимо от a (при условии a·x > 0).

Как калькулятор обрабатывает дробные степени?

Для xⁿ с дробным n (например, n = 0.5 для √x) формула n·xⁿ⁻¹ работает точно так же. Проверяется только область определения: при дробном n основание x должно быть неотрицательным.

Можно ли вычислить производную в точке разрыва?

Нет. Если точка x₀ попадает в область, где функция или её производная не определены (например, tg(π/2)), калькулятор выдаст сообщение об ошибке.

Зачем в результате показано значение самой функции f(x₀)?

Это полезно для проверки: значение функции и её производной часто используются вместе — например, при составлении уравнения касательной: y = f(x₀) + f'(x₀)·(x − x₀).

Насколько точен калькулятор?

Вычисления выполняются аналитически по точным формулам производных. Численная погрешность возникает только при операциях с плавающей запятой в JavaScript и не превышает 10⁻¹⁰ для типичных значений. Результат округляется до 6 десятичных знаков.

Источники и справочные данные

Расчёт основан на стандартных формулах дифференциального исчисления из школьного курса алгебры и начал математического анализа (10–11 классы), а также курса высшей математики для технических специальностей. Все формулы соответствуют общепринятой математической нотации. Для учебных и справочных целей; при ответственных инженерных расчётах проверяйте результат вручную или в специализированном ПО.

Производная функции: полное руководство для практического применения

Что такое производная простыми словами

Производная функции в точке — это скорость изменения функции в этой точке. Геометрически она равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной прямой к графику функции. Если функция описывает положение тела, то производная — это мгновенная скорость; если функция описывает скорость, то производная — ускорение.

Математически производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. На практике мы пользуемся готовыми формулами — таблицей производных, которую вывели математики за несколько столетий.

Таблица производных элементарных функций

Таблицу производных полезно держать под рукой. Вот основные функции и их производные, которые охватывают 90% практических задач — от школьных примеров вида x·(x−1) до сложных инженерных расчётов.

xⁿ → n·xⁿ⁻¹ sin x → cos x cos x → −sin x tg x → 1 / cos² x ctg x → −1 / sin² x ln x → 1 / x eˣ → eˣ √x → 1 / (2√x) arcsin x → 1 / √(1−x²) arccos x → −1 / √(1−x²) arctg x → 1 / (1+x²)

Эти формулы — основа. Калькулятор на этой странице использует именно их, автоматически подставляя ваши значения коэффициентов и точки x₀.

Правила дифференцирования: как работать со сложными выражениями

На практике редко встречаются чистые табличные функции. Обычно это комбинации: сумма нескольких функций, произведение, частное или сложная функция (функция от функции). Для них есть правила:

  • Производная суммы: (f + g)' = f' + g'. Производная суммы равна сумме производных. Например, для x² + 3x производная равна 2x + 3.
  • Постоянный множитель: (c·f)' = c·f'. Константа выносится за знак производной.
  • Производная произведения: (f·g)' = f'·g + f·g'. Например, для x·sin x получим 1·sin x + x·cos x.
  • Производная частного: (f/g)' = (f'·g − f·g') / g². Полезно для дробно-рациональных функций.
  • Производная сложной функции: если y = f(g(x)), то y' = f'(g(x)) · g'(x). Это правило цепочки — именно оно даёт множитель a в формулах вида sin(a·x) → a·cos(a·x).

Наш калькулятор уже «знает» правило цепочки для всех поддерживаемых функций. Когда вы выбираете sin(a·x) и указываете a = 3, калькулятор автоматически умножает производную на 3.

Примеры из практики: от простого к сложному

Рассмотрим несколько примеров с конкретными числами. Пусть нужно найти производную функции f(x) = x·(x−1)·(x−2). Это кубический полином: раскроем скобки: x·(x² − 3x + 2) = x³ − 3x² + 2x. Производная: 3x² − 6x + 2. В точке x = 1 значение f'(1) = 3 − 6 + 2 = −1. Калькулятор полинома на этой странице мгновенно выдаст тот же результат — просто введите коэффициенты a₃=1, a₂=−3, a₁=2, a₀=0.

Другой пример: f(x) = 2·sin(5x) + 3·cos(2x). Производная: 2·5·cos(5x) + 3·(−2)·sin(2x) = 10·cos(5x) − 6·sin(2x). В точке x = π/4 получим: 10·cos(5π/4) − 6·sin(π/2) = 10·(−√2/2) − 6·1 ≈ −7.071 − 6 = −13.071. Такие задачи регулярно встречаются на экзаменах и в инженерной практике.

Выражения вида 2x² + 3x + 1 — это полином второй степени. Его производная: 4x + 3. В точке x = 2 значение f'(2) = 11. А для x·(x−7) = x² − 7x производная: 2x − 7. При x = 7 получаем f'(7) = 7 — обратите внимание, что в точке x = 7 функция равна нулю, а производная нет.

Геометрический смысл: касательная к графику

Одно из главных применений производной — построение касательной. Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x₀: y = f(x₀) + f'(x₀)·(x − x₀). Зная значение функции и её производной в точке, вы можете мгновенно записать уравнение прямой, которая наилучшим образом приближает график в окрестности этой точки.

Например, для f(x) = x² в точке x₀ = 3: f(3) = 9, f'(3) = 6. Уравнение касательной: y = 9 + 6·(x − 3) = 6x − 9. Это прямая, которая касается параболы ровно в одной точке.

Физический смысл: скорость и ускорение

Если материальная точка движется по закону s(t) = 4t³ − 2t² + t (метры), то мгновенная скорость v(t) = s'(t) = 12t² − 4t + 1 (м/с), а ускорение a(t) = v'(t) = 24t − 4 (м/с²). В момент t = 2 с: скорость v(2) = 12·4 − 4·2 + 1 = 48 − 8 + 1 = 41 м/с, ускорение a(2) = 48 − 4 = 44 м/с².

Этот принцип универсален: производная по времени даёт скорость изменения любой величины — температуры, давления, заряда, популяции.

Исследование функций на экстремумы

Производная помогает находить максимумы и минимумы функций. В точках экстремума производная равна нулю (касательная горизонтальна). Например, для f(x) = x³ − 3x производная f'(x) = 3x² − 3. Приравниваем к нулю: 3x² = 3 → x = ±1. Проверяем знак производной слева и справа: при x = −1 — максимум (f(−1) = 2), при x = 1 — минимум (f(1) = −2). Такие задачи — стандарт для ЕГЭ и вступительных экзаменов.

Производные высших порядков

Производную можно брать повторно: вторая производная f''(x) — это производная от производной. Она показывает скорость изменения скорости, то есть ускорение в физическом контексте, или выпуклость/вогнутость графика в математическом. Третья производная используется в задачах на рывок (изменение ускорения), четвёртая и выше — в рядах Тейлора и продвинутом анализе.

Для полинома f(x) = x⁴ − 2x³ + x − 7 первые четыре производные: f'(x) = 4x³ − 6x² + 1, f''(x) = 12x² − 12x, f'''(x) = 24x − 12, f''''(x) = 24. Пятая и все последующие равны нулю — это свойство полиномов: на каждом шаге степень понижается.

Практические советы по вычислению производных

  • Всегда проверяйте, можно ли упростить функцию до дифференцирования. Например, x·(x−1) лучше раскрыть в x² − x, чем дифференцировать как произведение.
  • Дробно-рациональные выражения приводите к сумме простейших дробей, если возможно.
  • Помните про область определения: производная может существовать не во всех точках, где определена сама функция (например, |x| в нуле).
  • Используйте калькулятор для быстрой проверки ручных вычислений — это экономит время и помогает избежать арифметических ошибок.
  • При работе с тригонометрическими функциями всегда переводите углы в радианы. Градусы в анализе не используются.

Заключение

Производная — один из самых мощных инструментов математического анализа. Она связывает геометрию, физику, экономику и информатику. Освоив таблицу производных и правила дифференцирования, вы получаете универсальный метод анализа любых количественных закономерностей. А наш калькулятор производной функции поможет быстро проверить результат, увидеть формулу и избежать ошибок в рутинных вычислениях.

Нужен другой инструмент?

Все инструменты в категории