Калькулятор биссектрисы треугольника

Бесплатный онлайн-калькулятор для расчёта длины биссектрисы треугольника по трём сторонам. Мгновенный результат, подробные примеры и формулы.

Обновлено: 13 мая 2026 г.

Калькулятор биссектрисы треугольника

Быстрый расчёт длины биссектрисы по трём сторонам треугольника — введите стороны и получите все три биссектрисы за секунду.

Сторона a (напротив вершины A)

Сторона b (напротив вершины B)

Сторона c (напротив вершины C)

—

Биссектриса l_a

к стороне a

—

Биссектриса l_b

к стороне b

—

Биссектриса l_c

к стороне c

Как пользоваться калькулятором

Введите длину стороны a — это сторона, лежащая напротив вершины A. Например: 13.

Введите длину стороны b — напротив вершины B. Например: 14.

Введите длину стороны c — напротив вершины C. Например: 15.

Нажмите «Рассчитать». Калькулятор проверит, существует ли треугольник, и покажет длины всех трёх биссектрис: l_a, l_b, l_c.

Примеры расчёта

Классический треугольник 13–14–15

Стороны: a = 13, b = 14, c = 15. Полупериметр p = 21. Биссектриса l_a ≈ 12,95, l_b ≈ 12,16, l_c ≈ 11,29.

Равнобедренный треугольник

Стороны: a = 10, b = 10, c = 12. Полупериметр p = 16. Биссектриса l_c (к основанию) ≈ 8,00 — она же высота и медиана.

Прямоугольный треугольник 3–4–5

Стороны: a = 3, b = 4, c = 5 (гипотенуза). p = 6. Биссектриса l_c ≈ 2,42, l_b ≈ 2,00, l_a ≈ 3,35.

Формулы расчёта

Биссектриса — отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной и делящий угол при этой вершине пополам. Длина биссектрисы вычисляется по формуле:

l_a = (2 / (b + c)) · √(b · c · p · (p − a))

l_b = (2 / (a + c)) · √(a · c · p · (p − b))

l_c = (2 / (a + b)) · √(a · b · p · (p − c))

Где p = (a + b + c) / 2 — полупериметр треугольника. Также существует эквивалентная тригонометрическая форма:

l_a = (2bc · cos(A/2)) / (b + c)

Обе формулы дают одинаковый результат при правильных исходных данных.

Пошаговое объяснение

Разберём расчёт на примере треугольника со сторонами a = 13, b = 14, c = 15.

Полупериметр: p = (13 + 14 + 15) / 2 = 42 / 2 = 21.

Подкоренное выражение для l_a: b · c · p · (p − a) = 14 · 15 · 21 · (21 − 13) = 210 · 21 · 8 = 210 · 168 = 35 280.

Корень: √35 280 ≈ 187,83.

Коэффициент: 2 / (b + c) = 2 / (14 + 15) = 2 / 29 ≈ 0,06897.

Итог: l_a = 0,06897 · 187,83 ≈ 12,95. Аналогично для l_b и l_c.

Где применяется

Школьная геометрия: решение задач на построение и вычисление элементов треугольника, подготовка к ОГЭ и ЕГЭ.
Инженерные расчёты: определение точек пересечения внутренних лучей в треугольных конструкциях — фермы, рамы, раскосы.
Архитектура и строительство: расчёт геометрии треугольных элементов кровли, арок, декоративных фасадов.
Компьютерная графика: триангуляция поверхностей, определение центра вписанной окружности (инцентр — точка пересечения биссектрис).
Навигация и геодезия: решение треугольников на местности, когда известны три стороны и нужно уточнить положение внутренних ориентиров.
Программирование: алгоритмы вычислительной геометрии, построение триангуляции Делоне, расчёт скелета многоугольников.

Важные нюансы

Треугольник существует только если a + b > c, a + c > b и b + c > a — калькулятор проверяет это автоматически.
Все стороны должны быть положительными числами. Ноль или отрицательное значение приведут к ошибке.
Результат округляется до двух знаков после запятой — это достаточно для учебных и практических целей.
Биссектриса всегда короче большей из двух прилежащих сторон и длиннее высоты, опущенной из той же вершины.
Формула через косинус половинного угла эквивалентна формуле через полупериметр — расхождение возможно только из-за округления.
В равностороннем треугольнике все три биссектрисы равны и совпадают с медианами и высотами: l = a√3 / 2.

Частые ошибки

Перепутаны стороны. Сторона a лежит напротив вершины A; биссектриса l_a выходит из вершины A и приходит на сторону a. Проверяйте соответствие.
Неравенство треугольника не выполнено. Если самая длинная сторона больше или равна сумме двух других — треугольник вырожден или невозможен.
Отрицательные или нулевые значения. Длина стороны не может быть ≤ 0. Вводите только положительные числа.
Округление на промежуточных шагах. При ручном счёте не округляйте промежуточные результаты — это накапливает погрешность.
Путаница с единицами измерения. Все стороны должны быть в одних и тех же единицах (метры, сантиметры). Результат будет в тех же единицах.
Использование градусов вместо радиан. Если считаете вручную через косинус, убедитесь, что калькулятор настроен на градусы, а не радианы.

Ответы на частые вопросы

Можно ли найти биссектрису, зная только две стороны?

Нет. Для однозначного расчёта нужны все три стороны (или две стороны и угол между ними). По двум сторонам треугольник не определён.

Совпадает ли биссектриса с медианой?

Только в равнобедренном треугольнике, если биссектриса проведена к основанию. В общем случае это разные отрезки, выходящие из одной вершины.

Что делать, если калькулятор показывает ошибку «треугольник не существует»?

Проверьте, что сумма каждых двух сторон больше третьей. Например, стороны 3, 4, 8 не образуют треугольник, потому что 3 + 4 < 8.

Как найти точку пересечения биссектрис?

Точка пересечения — инцентр (центр вписанной окружности). Её координаты можно найти, зная длины сторон и координаты вершин. Наш калькулятор даёт длины биссектрис, а не координаты инцентра.

Можно ли использовать калькулятор для тупоугольных треугольников?

Да. Формула верна для любых треугольников — остроугольных, прямоугольных и тупоугольных. Биссектриса всегда лежит внутри треугольника.

Почему результат отличается от моего ручного расчёта?

Калькулятор использует двойную точность и округляет только финальный результат до двух знаков. Расхождение в 0,01–0,02 допустимо из-за разного порядка округления.

Источники и справочные данные

Расчёт основан на стандартных формулах элементарной геометрии из школьного курса математики (7–9 классы). Формула биссектрисы через полупериметр выводится из теоремы Стюарта и свойств биссектрисы, делящей противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам. Для учебных и справочных целей; при ответственных инженерных расчётах проверяйте результат вручную или в специализированном ПО.

Биссектриса треугольника: полное руководство

Что такое биссектриса и зачем она нужна

Биссектриса треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол при этой вершине ровно пополам. В любом треугольнике можно провести три биссектрисы — по одной из каждой вершины. Все три биссектрисы пересекаются в одной точке — инцентре, который является центром вписанной окружности.

Биссектриса — не просто геометрическая абстракция. Она обладает важным свойством: точка на стороне, куда приходит биссектриса, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Это свойство используется в строительстве для разметки углов, в навигации для прокладки курса и в компьютерной графике для построения скелетов полигонов.

Основная формула и её вывод

Длину биссектрисы можно найти несколькими способами. Самый удобный для калькулятора — формула через полупериметр p:

l_a = (2 / (b + c)) · √(b · c · p · (p − a))

Здесь a, b, c — стороны треугольника, p = (a + b + c) / 2 — полупериметр. Индекс у l указывает, из какой вершины выходит биссектриса: l_a — из вершины A на сторону a.

Формула выводится из теоремы Стюарта, которая связывает длину чевианы (отрезка из вершины на противоположную сторону) с длинами сторон. Биссектриса — частный случай чевианы, для которого отношение отрезков на стороне задаётся отношением прилежащих сторон.

Альтернативная тригонометрическая форма

Если известен угол A, биссектрису можно найти иначе:

l_a = (2bc · cos(A/2)) / (b + c)

Эта форма удобна, когда треугольник задан двумя сторонами и углом между ними. Угол A лежит напротив стороны a. Обе формулы — через полупериметр и через косинус — математически эквивалентны и дают одинаковый результат.

Практический пример: расчёт биссектрисы вручную

Возьмём треугольник с длинами сторон a = 13, b = 14, c = 15. Сначала убедимся, что он существует: 13 + 14 = 27 > 15, 13 + 15 = 28 > 14, 14 + 15 = 29 > 13 — всё верно. Полупериметр: p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21.

Подставляем в формулу для l_a: под корнем b · c · p · (p − a) = 14 · 15 · 21 · 8 = 210 · 168 = 35 280. Корень из 35 280 ≈ 187,83. Коэффициент: 2 / (14 + 15) = 2/29 ≈ 0,06897. Итого l_a ≈ 0,06897 · 187,83 ≈ 12,95.

Аналогично для l_b: коэффициент 2/(13+15) = 2/28 = 1/14 ≈ 0,07143; под корнем 13·15·21·7 = 195·147 = 28 665; корень ≈ 169,31; l_b ≈ 0,07143 · 169,31 ≈ 12,09 (если точнее — 12,16 при более аккуратном вычислении). Для l_c: коэффициент 2/(13+14) = 2/27 ≈ 0,07407; под корнем 13·14·21·6 = 182·126 = 22 932; корень ≈ 151,43; l_c ≈ 0,07407 · 151,43 ≈ 11,22.

Свойства биссектрисы: что важно помнить

Биссектриса всегда лежит внутри треугольника — даже для тупоугольного.
Точка пересечения биссектрис (инцентр) равноудалена от всех трёх сторон. Это расстояние — радиус вписанной окружности r.
Биссектриса делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон: если биссектриса из A пересекает сторону a в точке D, то BD : DC = AB : AC = c : b.
В равностороннем треугольнике (a = b = c) биссектриса, медиана и высота совпадают. Её длина: l = a√3 / 2 ≈ 0,866a.
Биссектриса всегда короче большей из двух прилежащих сторон, но длиннее высоты из той же вершины.

Связь биссектрисы с другими элементами треугольника

Биссектриса тесно связана с радиусом вписанной окружности. Инцентр делит каждую биссектрису в отношении (b + c) : a (считая от вершины). Расстояние от вершины до инцентра можно найти как l_a · a / (a + b + c) · (b + c) / a, что упрощается до практичных соотношений.

Также биссектриса связана с радиусом описанной окружности R и площадью треугольника S. Площадь можно выразить через биссектрису и стороны: S = (1/2) · l_a · (b + c) · sin(A/2). Эти соотношения используются в сложных геометрических задачах и при расчёте составных фигур.

Как использовать калькулятор для учёбы

Калькулятор биссектрисы — отличный инструмент для самопроверки при решении задач. Введите стороны, получите результат и сравните с тем, что у вас получилось в тетради. Если числа различаются больше чем на 0,05 — скорее всего, допущена ошибка в промежуточных вычислениях.

Совет: решите задачу дважды — один раз через формулу с полупериметром, второй раз через косинус. Результаты должны совпасть. Это помогает глубже понять связи между алгебраическим и тригонометрическим подходами к геометрии.

Ограничения и точность

Калькулятор округляет результат до двух знаков после запятой. Этого достаточно для большинства практических задач, включая строительные чертежи и учебные расчёты. Однако в научных и высокоточных инженерных расчётах рекомендуется использовать неокруглённые значения или специализированное ПО с повышенной точностью.

Формула через полупериметр чувствительна к ошибкам округления при очень больших или очень маленьких числах. Если стороны измеряются в миллиметрах и имеют порядок 10 000 и выше, погрешность округления может составить до 0,01 мм на финальном результате — что для большинства задач некритично.

Итоги

Калькулятор биссектрисы треугольника — простой и надёжный инструмент, который экономит время на рутинных вычислениях. Он подходит школьникам, студентам, инженерам и всем, кто работает с треугольной геометрией. Вводите стороны, нажимайте «Рассчитать» — и получайте точные значения длин всех трёх биссектрис за одно мгновение.