Расчёт дискриминанта: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что вы решаете квадратное уравнение — это как искать зарытый клад. Дискриминант — это компас, который сразу показывает, есть ли клад, и сколько его частей. Формально: дискриминант — это число, которое вычисляется по коэффициентам уравнения ax² + bx + c = 0. Он отвечает на главный вопрос: есть ли решение? Если дискриминант большой (больше нуля) — два решения, если равен нулю — одно, если отрицательный — решений нет. Всё просто!

У любого квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 дискриминант D вычисляется так:

Где:

• a — коэффициент при x² (не может быть 0);
• b — коэффициент при x;
• c — свободный член (число без x).

Если D > 0, у уравнения два корня, которые находятся по формуле:

Знак ± означает, что вы делаете два действия: один раз с плюсом, другой — с минусом. Если D = 0, то корень один (x = −b / (2a)). Если D < 0 — корней нет (в школьной программе).

Решим уравнение: x² + 4x − 5 = 0.

1. Находим коэффициенты: a = 1, b = 4, c = −5.
2. Считаем дискриминант: D = 4² − 4·1·(−5) = 16 + 20 = 36.
3. Корень из D: √36 = 6.
4. Находим корни: x₁ = (−4 + 6) / (2·1) = 2 / 2 = 1; x₂ = (−4 − 6) / 2 = −10 / 2 = −5.

Ответ: x = 1, x = −5. Проверка: 1² + 4·1 − 5 = 0, и (−5)² + 4·(−5) − 5 = 25 − 20 − 5 = 0. Всё верно!

Решим: 4x² − 12x + 9 = 0.

1. a = 4, b = −12, c = 9.
2. D = (−12)² − 4·4·9 = 144 − 144 = 0.
3. Корень: x = −(−12) / (2·4) = 12 / 8 = 1.5.

Ответ: x = 1.5. Проверка: 4·(2.25) − 12·1.5 + 9 = 9 − 18 + 9 = 0. Всё верно!

Решим: 3x² − 2x + 5 = 0.

1. a = 3, b = −2, c = 5.
2. D = (−2)² − 4·3·5 = 4 − 60 = −56.
3. D < 0, значит, действительных корней нет.

Ответ: корней нет. В старших классах вы узнаете о комплексных числах, но для школы — решения нет.

Иногда квадратное уравнение решается без дискриминанта:

• Если c = 0 (нет свободного члена): например, x² + 2x = 0. Выносим x: x(x + 2) = 0, корни: 0 и −2.
• Если b = 0 (нет линейного члена): например, x² − 4 = 0. Переносим: x² = 4, корни: ±2.
• Если a = 1 (приведённое): можно использовать теорему Виета: сумма корней = −b, произведение = c.

Но если сомневаетесь — используйте дискриминант, он универсален.

Ошибка 1: Неверный знак c. Если c = −5, то в формуле D = b² − 4a·c подставляйте c = −5, а не 5. Иначе потеряете корни.

Ошибка 2: Забыли про знак b в формуле корня. Если b = −4, то −b = 4, а не −4. Внимательно с минусами!

Ошибка 3: Сокращение на a при a ≠ 1. Уравнение 3x² + 6x + 3 = 0 можно сократить на 3, получив x² + 2x + 1 = 0, но если есть свободный член, делить нельзя — нарушите равенство. Лучше считать как есть.

1. Для уравнения 2x² + 4x + 2 = 0 чему равен дискриминант? (Ответ: D = 16 − 16 = 0)
2. Сколько корней у уравнения x² + 1 = 0? (Ответ: D = −4 < 0 → корней нет)
3. Решите x² − 5x + 6 = 0. (Ответ: D = 25 − 24 = 1, корни: 2 и 3)
4. Верно ли, что при D = 0 корень один? (Да)
5. Найдите корни 4x² − 4x + 1 = 0. (Ответ: D = 16 − 16 = 0, x = 0.5)

Решили всё? Отлично! Если где-то споткнулись — Калькулятор дискриминанта поможет проверить.

Не хотите возиться с формулами? Используйте Калькулятор дискриминанта: введите a, b, c — и получите готовые корни с решением. Так вы сэкономите время и избежите ошибок. Особенно полезно, когда коэффициенты дробные или большие.