Расчёт дисперсии: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что вы заказали 5 пицц в одной и той же пиццерии. Диаметр каждой — 30, 31, 29, 30, 32 см. В среднем 30,4 см. Но насколько пиццы различаются? Дисперсия — это средний квадрат отклонения каждой пиццы от среднего. Если дисперсия маленькая, все пиццы примерно одинаковые; если большая — одни огромные, другие крошечные. В статистике дисперсия показывает, насколько данные «размазаны» вокруг среднего.

Важно: дисперсия всегда неотрицательна. Нулевая дисперсия означает, что все числа в ряду одинаковы.

Дисперсия используется в финансах (риск акций), контроле качества, анализе данных и даже в спортивной статистике. Если вы когда-нибудь слышали про волатильность — это почти то же самое.

Существует два основных типа дисперсии: генеральная (для всей совокупности) и выборочная (для части данных). Формулы похожи, но знаменатель разный.

• σ² — дисперсия (сигма в квадрате);
• x_i — каждое значение ряда;
• μ — среднее арифметическое всей совокупности;
• n — количество значений в совокупности.

• s² — выборочная дисперсия;
• x̄ — выборочное среднее;
• n−1 — количество значений минус 1 (поправка Бесселя).

Поправка на n−1 делает оценку несмещённой: если брать много выборок, средняя выборочная дисперсия будет равна генеральной. Для больших n (более 30) разница почти незаметна.

Даны оценки 5 студентов за тест: 4, 5, 3, 4, 5. Найдём генеральную и выборочную дисперсию.

1. Среднее: (4+5+3+4+5)/5 = 21/5 = 4,2.
2. Отклонения от среднего: 4−4,2 = −0,2; 5−4,2 = 0,8; 3−4,2 = −1,2; 4−4,2 = −0,2; 5−4,2 = 0,8.
3. Квадраты отклонений: 0,04; 0,64; 1,44; 0,04; 0,64.
4. Сумма квадратов: 0,04+0,64+1,44+0,04+0,64 = 2,8.
5. Генеральная дисперсия: 2,8 / 5 = 0,56.
6. Выборочная дисперсия: 2,8 / (5−1) = 2,8 / 4 = 0,7.

Также можно посчитать по другой формуле: σ² = (средний квадрат) − (квадрат среднего). Средний квадрат: (16+25+9+16+25)/5 = 91/5 = 18,2. Квадрат среднего: 4,2² = 17,64. Разница: 18,2−17,64 = 0,56 — то же самое.

Даны результаты опроса: сколько книг прочитали за месяц. Данные сгруппированы:

Найдём выборочную дисперсию.

1. Общее количество: n = 2+5+3 = 10.
2. Среднее: (0·2 + 1·5 + 2·3)/10 = (0+5+6)/10 = 11/10 = 1,1.
3. Сумма квадратов отклонений: (0−1,1)²·2 + (1−1,1)²·5 + (2−1,1)²·3 = (1,21·2) + (0,01·5) + (0,81·3) = 2,42 + 0,05 + 2,43 = 4,9.
4. Выборочная дисперсия: 4,9 / (10−1) = 4,9 / 9 ≈ 0,5444.

Если бы это была генеральная совокупность, дисперсия = 4,9/10 = 0,49.

Даны интервалы зарплат на предприятии (тыс. руб.):

Найдём выборочную дисперсию.

1. n = 5+10+3 = 18.
2. Среднее: (35·5 + 45·10 + 55·3)/18 = (175 + 450 + 165)/18 = 790/18 ≈ 43,8889.
3. Отклонения: 35−43,8889 = −8,8889; 45−43,8889 = 1,1111; 55−43,8889 = 11,1111.
4. Квадраты: 79,0123; 1,2346; 123,4568.
5. Сумма квадратов с частотами: 79,0123·5 + 1,2346·10 + 123,4568·3 = 395,0615 + 12,346 + 370,3704 = 777,7779.
6. Выборочная дисперсия: 777,7779 / (18−1) = 777,7779 / 17 ≈ 45,7516.

Среднеквадратическое отклонение: σ ≈ √45,7516 ≈ 6,76 тыс. руб.

• Путаница между генеральной и выборочной дисперсией: если данные — это вся совокупность, делите на n, если выборка — на n−1.
• Забывают возвести в квадрат отклонения: дисперсия — это средний квадрат отклонений, а не среднее отклонение.
• Неправильное округление: при вычислениях лучше сохранять больше знаков после запятой, чтобы конечный результат был точным.
• Расчёт дисперсии для качественных данных: дисперсия имеет смысл только для количественных (числовых) данных.
• Не учитывают частоты: если данные повторяются, нужно умножать квадрат отклонения на частоту.

Совет: всегда проверяйте, является ли ваш набор генеральной совокупностью или выборкой. От этого зависит формула.

Ручной расчёт дисперсии — хорошая тренировка, но на практике удобнее использовать Калькулятор дисперсии. Вам нужно лишь ввести данные (через запятую или пробел), и сервис автоматически вычислит:

• среднее арифметическое;
• генеральную и выборочную дисперсию;
• среднеквадратическое отклонение (σ);
• иногда квартили и другие статистики.

Это особенно полезно, когда данных много (сотни значений) или когда нужно быстро сравнить несколько наборов. Калькулятор также помогает избежать арифметических ошибок.

Бинарные данные (0 и 1): Если переменная принимает только 0 или 1 (например, успех/неудача), дисперсия считается по формуле: σ² = p·(1−p), где p — доля единиц. Среднее таких данных равно p.

Пример: 10 опытов, 6 успехов. p = 0,6, дисперсия = 0,6·0,4 = 0,24. Выборочная: 0,24·10/9 ≈ 0,2667.

Стандартизация: Иногда данные нормируют (вычитают среднее и делят на σ), чтобы дисперсия стала равна 1. Это удобно для сравнения данных из разных распределений.

1. Задача 1: Дан ряд: 2, 4, 6. Найдите генеральную дисперсию. Ответ: 2,67 (сумма квадратов отклонений = 8, делим на 3).
2. Задача 2: Выборка: 10, 12, 9, 11. Найдите выборочную дисперсию. Ответ: 1,67 (среднее=10,5, сумма квадратов=5, делим на 3).
3. Задача 3: В группе 20 человек, средний балл 4,2, сумма квадратов отклонений от среднего равна 15. Найдите генеральную дисперсию. Ответ: 0,75 (15/20).
4. Задача 4: Монету подбросили 100 раз, орёл выпал 45 раз. Найдите выборочную дисперсию для доли орлов. Ответ: 0,45·0,55·100/99 ≈ 0,25.