Расчёт ковариации: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что вы отслеживаете продажи пиццы и температуру воздуха. В жаркие дни продажи растут — это положительная ковариация. А если с ростом температуры продажи горячего чая падают — это отрицательная ковариация. Нулевая ковариция означает, что связь отсутствует.

Ковариация — это мера совместной изменчивости двух случайных величин. Она показывает, как одна переменная отклоняется от своего среднего, когда другая отклоняется от своего.

Математически ковариация вычисляется как среднее произведений отклонений каждой пары значений от их средних. Если отклонения совпадают по знаку (оба плюс или оба минус), произведение положительно — ковариация положительна. Если знаки разные — произведение отрицательно.

Есть две формулы: для генеральной совокупности (когда данные — вся вселенная) и для выборки (когда данные — только часть). В реальности чаще используют выборочную.

Выборочная ковариация:

Расшифровка:

• xi — i-е значение переменной X;
• yi — i-е значение переменной Y;
• x̄ (икс с чертой) — среднее арифметическое X;
• ȳ (игрек с чертой) — среднее арифметическое Y;
• n — количество наблюдений (пар значений);
• Σ — сумма по всем i от 1 до n;
• n-1 — поправка на смещение (используется для выборки).

Для генеральной совокупности вместо n-1 в знаменателе — просто n.

где μx и μy — средние по совокупности, N — объём совокупности.

Даны две переменные: X = [2, 4, 6, 8] и Y = [1, 3, 5, 7]. Найдём ковариацию.

1. Средние: x̄ = (2+4+6+8)/4 = 5; ȳ = (1+3+5+7)/4 = 4.
2. Отклонения: (xi - x̄): -3, -1, 1, 3; (yi - ȳ): -3, -1, 1, 3.
3. Произведения отклонений: (-3)*(-3)=9; (-1)*(-1)=1; 1*1=1; 3*3=9. Сумма = 20.
4. Выборочная ковариация: 20 / (4-1) = 20/3 ≈ 6.67.

Ковариация положительная — переменные растут вместе. Для генеральной совокупности (n=4) было бы 20/4 = 5.

Актив A (X) и актив B (Y) за 5 дней: X = [2%, 3%, 5%, 4%, 6%]; Y = [1%, 2%, 4%, 3%, 5%].

1. Средние: x̄ = (2+3+5+4+6)/5 = 4%; ȳ = (1+2+4+3+5)/5 = 3%.
2. Отклонения и произведения (в процентах):

   i	xi - x̄	yi - ȳ	(xi-x̄)(yi-ȳ)
   1	-2	-2	4
   2	-1	-1	1
   3	1	1	1
   4	0	0	0
   5	2	2	4

   Сумма произведений = 4+1+1+0+4 = 10.
3. Выборочная ковариация: 10 / (5-1) = 10/4 = 2.5%². Единица — квадрат процента.

Результат можно использовать для диверсификации портфеля. Если хотите избежать ручного счёта — воспользуйтесь Калькулятором ковариации на нашем сайте.

Переменные: X = [10, 20, 30, 40], Y = [40, 30, 20, 10]. Очевидно, при росте X Y падает.

1. Средние: x̄ = 25; ȳ = 25.
2. Отклонения: (xi-x̄): -15, -5, 5, 15; (yi-ȳ): 15, 5, -5, -15.
3. Произведения: (-15)*15 = -225; (-5)*5 = -25; 5*(-5) = -25; 15*(-15) = -225. Сумма = -500.
4. Выборочная ковариация: -500 / 3 ≈ -166.67.

Отрицательная ковариация указывает на обратную зависимость: чем больше X, тем меньше Y.

Ковариация имеет один недостаток: её величина зависит от масштаба данных. Например, если изменить единицы измерения (градусы Цельсия на Фаренгейты), ковариация изменится. Поэтому чаще используют коэффициент корреляции Пирсона — это нормированная ковариация:

где σ — стандартные отклонения. r лежит в диапазоне от -1 до 1 и не зависит от единиц.

Частные случаи:

• Нулевая ковариация — не обязательно означает независимость. Возможна нелинейная зависимость (например, X=Y² при симметричном относительно нуля X).
• Одинаковые ряды: Cov(X,X) = Var(X) — ковариация переменной с самой собой равна её дисперсии.
• Выбросы могут сильно исказить ковариацию, поэтому всегда проверяйте данные на аномалии.

Ошибка 1: Использовать формулу для совокупности, когда данные — выборка. В знаменателе должно быть n-1, а не n.

• Ошибка 2: Путать знак. Если ковариация отрицательная, это не значит, что связь слабая — она может быть сильной, но обратной.
• Ошибка 3: Не центрировать данные. Некоторые ошибочно считают ковариацию как среднее произведений самих значений, а не отклонений.
• Ошибка 4: Игнорировать масштаб. Сравнивать ковариацию разных пар переменных бессмысленно без нормировки.

Чтобы избежать этих ошибок, используйте Калькулятор ковариации — он автоматически выберет правильную формулу и избавит от арифметических сбоев.

Попробуйте решить сами. Ответы — в конце секции.

1. Дано: X = [1, 2, 3], Y = [4, 5, 6]. Чему равна выборочная ковариация? (Подсказка: ряды идеально растут вместе)
2. Дано: X = [1, 2, 3], Y = [6, 5, 4]. Каков знак ковариации?
3. Если Cov(X,Y) = 0, всегда ли X и Y независимы?

Ответы:

1. Средние: x̄=2, ȳ=5. Отклонения: X: -1,0,1; Y: -1,0,1. Произведения: 1,0,1. Сумма=2. Выборочная: 2/(3-1)=1. Положительная.
2. Средние: x̄=2, ȳ=5. Отклонения: X: -1,0,1; Y: 1,0,-1. Произведения: -1,0,-1. Сумма=-2. Выборочная: -2/2=-1. Отрицательная.
3. Нет, не всегда. Ковариация улавливает только линейную связь. При нелинейной зависимости (например, X=Y²) ковариация может быть равна нулю, но переменные зависимы.