Расчёт линейной регрессии: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что вы продаёте пиццу. Вы замечаете: чем больше рекламы в соцсетях, тем больше заказов. Линейная регрессия — это математический способ провести прямую линию через ваши точки данных (например, «реклама -> заказы»), чтобы по новому значению рекламы предсказать количество заказов.

Формула этой прямой:

• y — зависимая переменная (то, что предсказываем, например, заказы);
• x — независимая переменная (фактор, например, рекламный бюджет);
• a — точка пересечения с осью Y (заказы при нулевой рекламе);
• b — коэффициент наклона (на сколько заказов растёт при увеличении рекламы на 1 рубль).

Если b > 0, связь прямая: больше рекламы — больше заказов. Если b < 0 — обратная (больше рекламы — меньше заказов, странно).

Важно: регрессия показывает связь, а не причину. Может, и правда пицца вкусная стала, а не реклама сработала.

Чтобы найти a и b по данным, используют метод наименьших квадратов (МНК). Идея: линия должна проходить так, чтобы сумма квадратов расстояний от точек до линии была минимальной.

Сначала нужны средние значения: среднее x (x̄) и среднее y (ȳ). Формулы:

Где:

• xi, yi — i-е значения x и y из ваших данных;
• Σ — сумма по всем i от 1 до n;
• n — количество наблюдений.

Выглядит страшно? На самом деле просто: считаете отклонения, умножаете, суммируете, делите. Или пользуетесь Калькулятором линейной регрессии — он сам всё посчитает.

Дано: вы записали данные за 5 дней:

Найдём x̄ = (1+2+3+4+5)/5 = 3; ȳ = (10+12+15+14+18)/5 = 13.8.

Числитель для b: (1-3)*(10-13.8) + (2-3)*(12-13.8) + (3-3)*(15-13.8) + (4-3)*(14-13.8) + (5-3)*(18-13.8) = (-2)*(-3.8) + (-1)*(-1.8) + 0*1.2 + 1*0.2 + 2*4.2 = 7.6 + 1.8 + 0 + 0.2 + 8.4 = 18.

Знаменатель для b: (1-3)² + (2-3)² + (3-3)² + (4-3)² + (5-3)² = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10. Значит b = 18/10 = 1.8.

a = ȳ - b·x̄ = 13.8 - 1.8*3 = 13.8 - 5.4 = 8.4.

Итак, уравнение: y = 8.4 + 1.8·x. Если дать рекламу на 6 тыс., прогноз продаж: 8.4 + 1.8*6 = 19.2 ≈ 19 штук.

Проверьте на Калькуляторе линейной функции — просто подставьте x.

Линейная регрессия может работать с несколькими факторами (множественная регрессия), но формула там уже через матрицы. Однако бывает, что один фактор нелинейно связан — тогда добавляют квадрат x.

Например, вы заметили, что продажи пиццы зависят не только от рекламы, но и от температуры на улице. Но пока мы ограничимся одним x. Если же x² даёт лучший прогноз, используется полиномиальная регрессия, но это уже не совсем «линейная» в смысле прямой линии.

Для точного расчёта с любыми данными используйте Калькулятор линейной регрессии — он поддерживает до сотен точек.

Предположим, вы анализируете, как стаж (x, годы) влияет на зарплату (y, тыс. руб.). Собрали данные по 6 сотрудникам:

Средние: x̄ = (0+2+4+6+8+10)/6 = 5; ȳ = (40+45+50+55+60+65)/6 = 52.5.

Числитель b: (0-5)*(40-52.5) + (2-5)*(45-52.5) + (4-5)*(50-52.5) + (6-5)*(55-52.5) + (8-5)*(60-52.5) + (10-5)*(65-52.5) = (-5)*(-12.5) + (-3)*(-7.5) + (-1)*(-2.5) + (1)*(2.5) + (3)*(7.5) + (5)*(12.5) = 62.5 + 22.5 + 2.5 + 2.5 + 22.5 + 62.5 = 175.

Знаменатель: (0-5)² + (2-5)² + (4-5)² + (6-5)² + (8-5)² + (10-5)² = 25+9+1+1+9+25 = 70. b = 175/70 = 2.5.

a = 52.5 - 2.5*5 = 52.5 - 12.5 = 40.

Итог: y = 40 + 2.5·x. Каждый год стажа добавляет 2.5 тыс. к зарплате. Прогноз для стажа 5 лет: 40 + 2.5*5 = 52.5 тыс.

1. Путают x и y. Независимая переменная (фактор) — это x, зависимая (результат) — y. Если перепутать, получите бессмыслицу.
2. Экстраполяция за пределы данных. Если x=20, а данные были от 0 до 10, прогноз может быть неточен — линия может изогнуться.
3. Игнорирование выбросов. Одна точка с ошибкой (например, случайный всплеск продаж) может сильно исказить линию.
4. Считают, что b — это угол в градусах. На самом деле b — это прирост y на единицу x, а угол зависит от масштаба осей.
5. Не проверяют линейность. Если точки похожи на дугу, линейная регрессия не подходит — нужна полиномиальная.

Избежать ошибок поможет Калькулятор линейного уравнения — он покажет, насколько точки близки к прямой.

R² (коэффициент детерминации) показывает, какая доля изменчивости y объясняется вашей моделью. Чем ближе к 1, тем лучше.

Формула:

На практике:

• R² > 0.8 — отличная модель;
• 0.5-0.8 — средняя;
• <0.5 — слабая.

Например, в примере с зарплатой R² будет очень близок к 1, так как точки почти на прямой. Посчитайте на Калькуляторе системы линейных уравнений — он тоже может оценить качество.

1. Даны точки: (1,2), (2,4), (3,6). Найдите a и b.
   Ответ: b=2, a=0, уравнение y=2x.
2. После расчёта получили b = -0.5. Что это означает?
   Ответ: Связь обратная: при росте x на 1, y уменьшается на 0.5.
3. Если R² = 0.3, стоит ли использовать модель?
   Ответ: Скорее нет, модель объясняет только 30% изменчивости.
4. Уравнение y = 10 + 2x. Чему равен y при x=7?
   Ответ: y = 10 + 2*7 = 24.