Расчёт размещений: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что вы выбираете 3 человек из 10 на должности: президент, вице-президент и секретарь. Один и тот же набор людей, но распределённый по-разному, даёт разные руководящие составы. В комбинаторике это называется размещением без повторений — когда порядок важен, и элементы не повторяются.

Пример из жизни: вы хотите составить расписание на неделю из 5 уроков, выбрав 5 предметов из 10. Каждый порядок даёт разное расписание. Или: сколько можно составить флагов из трёх горизонтальных полос разного цвета, если есть 7 цветов? Это всё размещения.

Важно: если бы порядок был не важен (например, просто выбрать 3 делегатов без должностей) — это были бы сочетания. Размещения же учитывают «кто на каком месте».

Формула выглядит так:

Где:

• n — общее количество элементов (например, 10 кандидатов);
• m — сколько элементов мы выбираем и упорядочиваем (например, 3 должности);
• ! — факториал: n! = n × (n−1) × ... × 1.

Факториал — это просто перемножение всех чисел от 1 до n. Например, 5! = 5·4·3·2·1 = 120. Если выбранных элементов больше, чем общее количество (m > n), то размещений 0 — нельзя выбрать больше, чем есть.

Интуитивно: на первое место можно поставить любой из n вариантов, на второе — любой из оставшихся (n−1), на третье — (n−2) и так далее m раз. Итог: n·(n−1)·(n−2)·...·(n−m+1). Это и есть наша формула.

У вас есть 5 разных книг. Нужно выбрать 2 и поставить их на полку в определённом порядке (первая слева, вторая справа). Сколько вариантов?

Решение:

• n = 5, m = 2
• По формуле: A₅² = 5! / (5−2)! = 5! / 3! = (5·4·3·2·1) / (3·2·1) = 120 / 6 = 20
• Или по интуитивному правилу: 5 вариантов на первую позицию × 4 варианта на вторую = 20.

Ответ: 20 способов.

В отделе 8 человек. Нужно выбрать директора, замдиректора и бухгалтера. Каждый может занять только одну должность.

Решение:

• n = 8, m = 3
• A₈³ = 8! / (8−3)! = 8! / 5! = (8·7·6·5·4·3·2·1) / (5·4·3·2·1) = 8·7·6 = 336
• Проверка: 8 вариантов на директора, 7 на зама, 6 на бухгалтера → 8·7·6 = 336.

Ответ: 336 способов.

Если бы должности были одинаковы (просто выбрать 3 делегатов), то число сочетаний C₈³ = 56 — в 6 раз меньше, потому что порядок не важен.

У вас есть 7 разных цветов. Нужно составить флаг из трёх горизонтальных полос, каждая полоса — свой цвет, цвета не повторяются. Сколько разных флагов можно сделать?

Решение:

• n = 7, m = 3
• A₇³ = 7! / (7−3)! = 7! / 4! = (7·6·5·4·3·2·1) / (4·3·2·1) = 7·6·5 = 210
• Если бы цвета могли повторяться, то было бы 7·7·7 = 343 варианта (размещения с повторениями).

Ответ: 210 флагов.

Если каждый элемент можно использовать неограниченно (например, составляем код из цифр 0-9 длиной 4 символа — цифры могут повторяться), то используется формула размещений с повторениями:

Где n — число возможных вариантов для каждой позиции, m — количество позиций. Например:

• Сколько 4-значных кодов можно составить из цифр 0-9? n=10, m=4 → 10⁴ = 10 000.
• Сколько вариантов пин-кода из 4 цифр? тоже 10 000.

Размещения с повторениями часто встречаются в комбинаторике паролей, номеров, кодов.

Запомните: если переставляете все элементы (n=m) — это перестановки. Если выбираете часть и порядок важен — размещения. Если порядок не важен — сочетания.

• Путать с сочетаниями: проверяйте, важен ли порядок. Если «выбрать 3 делегатов» — сочетания; если «назначить на 3 должности» — размещения.
• Использовать перестановки вместо размещений: когда m < n, формула перестановок n! не подходит, она даёт завышенный результат.
• Неправильно считать факториал: 0! = 1, не 0. И 1! = 1.
• Забывать про повторения: если элементы могут повторяться, формула n!/(n−m)! неверна — нужно nᵐ.

Чтобы избежать ошибок, сначала определите: важен ли порядок? Могут ли элементы повторяться? Затем выбирайте формулу.

1. Сколько способов выбрать 4 разных буквы из 10 и составить из них слово (порядок букв важен)?
2. Сколько можно составить 3-значных чисел из цифр 1-5, если цифры не повторяются?
3. В классе 20 человек, нужно выбрать старосту, заместителя и казначея. Сколько вариантов?

Ответы:

1. A₁₀⁴ = 10·9·8·7 = 5040.
2. A₅³ = 5·4·3 = 60.
3. A₂₀³ = 20·19·18 = 6840.

Проверьте свои расчёты с помощью Калькулятора размещений — он считает мгновенно!