Расчёт t-критерия Стьюдента: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что вы учитель и хотите узнать, лучше ли ваш класс написал контрольную, чем параллельный. Средние баллы различаются, но вдруг это просто везение? t-критерий Стьюдента — это статистический инструмент, который проверяет, насколько разница средних значима, учитывая разброс оценок. Он подходит, когда:

• Вы сравниваете две группы (например, контрольная и экспериментальная).
• Данные измерены в интервальной или относительной шкале (например, рост, вес, баллы).
• Распределение данных приблизительно нормальное (можно проверить гистограммой или тестом Шапиро-Уилка).

Если ваши выборки независимы (разные люди) — используйте t-критерий для независимых выборок. Если одни и те же люди измерены дважды (до и после) — парный t-критерий. В этой статье мы сосредоточимся на независимых выборках.

Основная формула для независимых выборок выглядит так:

Разберём каждую букву:

• M₁ и M₂ — средние арифметические первой и второй групп.
• s₁² и s₂² — дисперсии (разброс) каждой группы. Дисперсия вычисляется как среднее квадратов отклонений от среднего: s² = Σ(xi - M)² / (n - 1).
• n₁ и n₂ — объёмы выборок (количество наблюдений в каждой группе).

После расчёта t мы сравниваем его с критическим значением из таблицы распределения Стьюдента. Для этого нужно знать число степеней свободы (df). Для независимых выборок с неравными дисперсиями используется приближение Уэлча:

Округлите df вниз до целого. Затем в таблице найдите критическое значение t для выбранного уровня значимости (обычно 0.05) и двусторонней гипотезы. Если ваш |t| больше критического — разница статистически значима.

Условие: Измерили рост 5 студентов из группы А и 5 из группы Б. Группа А: 170, 172, 168, 175, 174 см. Группа Б: 165, 160, 162, 158, 163 см. Различаются ли группы по росту? (α = 0.05)

Шаг 1. Вычисляем средние: M₁ = (170+172+168+175+174)/5 = 171.8 см; M₂ = (165+160+162+158+163)/5 = 161.6 см.

Шаг 2. Вычисляем дисперсии: s₁² = ((170-171.8)² + (172-171.8)² + (168-171.8)² + (175-171.8)² + (174-171.8)²) / 4 = (3.24 + 0.04 + 14.44 + 10.24 + 4.84) / 4 = 32.8 / 4 = 8.2; s₂² = ((165-161.6)² + (160-161.6)² + (162-161.6)² + (158-161.6)² + (163-161.6)²) / 4 = (11.56 + 2.56 + 0.16 + 12.96 + 1.96) / 4 = 29.2 / 4 = 7.3.

Шаг 3. Вычисляем t: t = (171.8 - 161.6) / √(8.2/5 + 7.3/5) = 10.2 / √(1.64 + 1.46) = 10.2 / √3.1 = 10.2 / 1.761 = 5.792.

Шаг 4. Степени свободы: df = (8.2/5 + 7.3/5)² / ((8.2/5)²/4 + (7.3/5)²/4) = (3.1)² / ((1.64²)/4 + (1.46²)/4) = 9.61 / (2.6896/4 + 2.1316/4) = 9.61 / (0.6724 + 0.5329) = 9.61 / 1.2053 = 7.97, округляем до 7.

Шаг 5. Критическое значение t для df=7 и α=0.05 (двусторонний) — 2.365. Наше t=5.792 > 2.365, разница значима. Группы действительно различаются по росту.

Условие: 10 учеников занимались по новой методике, 8 — по старой. Баллы: новая: 85, 90, 78, 92, 88, 76, 95, 84, 91, 87; старая: 70, 75, 68, 72, 74, 71, 69, 73. Есть ли разница? (α = 0.05)

Шаг 1. Средние: M₁ = (85+90+78+92+88+76+95+84+91+87)/10 = 866/10 = 86.6; M₂ = (70+75+68+72+74+71+69+73)/8 = 572/8 = 71.5.

Шаг 2. Дисперсии: s₁² = Σ(x - 86.6)² / 9 = (2.56 + 11.56 + 73.96 + 29.16 + 1.96 + 112.36 + 70.56 + 6.76 + 19.36 + 0.16) / 9 = 328.4 / 9 = 36.49; s₂² = Σ(x - 71.5)² / 7 = (2.25 + 12.25 + 12.25 + 0.25 + 6.25 + 0.25 + 6.25 + 2.25) / 7 = 42 / 7 = 6.0.

Шаг 3. t = (86.6 - 71.5) / √(36.49/10 + 6.0/8) = 15.1 / √(3.649 + 0.75) = 15.1 / √4.399 = 15.1 / 2.098 = 7.198.

Шаг 4. df = (3.649+0.75)² / ((3.649²)/9 + (0.75²)/7) = (4.399)² / (13.315/9 + 0.5625/7) = 19.35 / (1.479 + 0.08036) = 19.35 / 1.559 = 12.42, округляем до 12.

Шаг 5. Критическое t для df=12, α=0.05 двусторонний — 2.179. 7.198 > 2.179, разница значима. Новая методика даёт лучшие результаты.

Условие: 6 пациентов измерили давление до и после приёма препарата. Данные: до: 150, 145, 160, 155, 148, 152; после: 140, 138, 145, 142, 135, 140. Снизилось ли давление? (α = 0.05)

Шаг 1. Вычисляем разности (до - после): 10, 7, 15, 13, 13, 12. Средняя разность D = (10+7+15+13+13+12)/6 = 70/6 = 11.667.

Шаг 2. Дисперсия разностей: s² = ((10-11.667)² + (7-11.667)² + (15-11.667)² + (13-11.667)² + (13-11.667)² + (12-11.667)²) / 5 = (2.778 + 21.778 + 11.111 + 1.778 + 1.778 + 0.111) / 5 = 39.334 / 5 = 7.867.

Шаг 3. t = D / (s / √n) = 11.667 / (√7.867 / √6) = 11.667 / (2.805 / 2.449) = 11.667 / 1.145 = 10.19.

Шаг 4. df = n - 1 = 5. Критическое t для df=5, α=0.05 двусторонний — 2.571. 10.19 > 2.571, разница значима. Препарат эффективен.

Даже опытные исследователи иногда ошибаются. Вот самые частые ошибки:

• Игнорирование нормальности: t-критерий требует нормального распределения. Если выборка мала (n<30) и распределение далеко от нормального, лучше использовать непараметрические тесты (например, U-критерий Манна-Уитни).
• Применение независимого критерия для зависимых выборок: если одни и те же испытуемые измерены дважды, используйте парный t-критерий. Иначе вы потеряете мощность.
• Неправильный расчёт степеней свободы: при неравных дисперсиях используйте формулу Уэлча, иначе увеличивается риск ошибки I рода.
• Множественные сравнения без коррекции: если вы сравниваете более двух групп, используйте ANOVA, а не множественные t-тесты, чтобы избежать накопления ошибки.
• Перепутанные односторонний и двусторонний критерий: двусторонний проверяет различие в любую сторону, односторонний — только в одну. Выбирайте исходя из гипотезы.

Ручные расчёты хороши для понимания, но на практике удобнее использовать онлайн-инструменты. Наш сайт предлагает Калькулятор t-критерия Стьюдента, который автоматически вычисляет t, df и p-значение. Просто введите данные двух групп, выберите тип критерия (независимый или парный) и уровень значимости. Также доступны:

• Калькулятор Z-критерия — для больших выборок с известной дисперсией.
• Калькулятор χ-квадрат критерия — для анализа таблиц сопряжённости.

Эти инструменты экономят время и снижают риск ошибок в расчётах.

Задача 1: В двух группах по 4 человека измерили время реакции (мс). Группа 1: 250, 260, 240, 255; Группа 2: 270, 280, 265, 275. Найдите t и сделайте вывод при α=0.05.
Ответ: t = -5.0, df ≈ 6, критическое t = 2.447, разница значима.

Задача 2: Парные измерения: до: 10, 12, 11; после: 9, 8, 10. Найдите парный t.
Ответ: t = 2.0, df = 2, критическое t = 4.303, разница незначима.

Задача 3: Рассчитайте t для независимых выборок: n₁=5, M₁=20, s₁²=4; n₂=5, M₂=18, s₂²=5.
Ответ: t = 1.49, df ≈ 8, критическое t = 2.306, разница незначима.