Меню

Онлайн-инструментОнлайнБесплатно

Калькулятор умножения матриц

Быстро и точно умножьте матрицы онлайн. Введите размеры и элементы, получите результат с пошаговым объяснением и формулами.

Обновлено: 14 мая 2026 г.

Научный подход

На проверенных формулах

Точно и быстро

Результат за секунды

Конфиденциально

Данные не покидают браузер

ФормулыБыстроПриватно

Калькулятор умножения матриц

Быстро и точно перемножьте матрицы: введите размеры и элементы — результат готов за секунду.

Строки матрицы A

Столбцы матрицы A

Столбцы матрицы B

Матрица A

Матрица B

Результат умножения

—

Введите данные

матрица C

Как пользоваться калькулятором

Выберите размеры матриц: количество строк A, столбцов A и столбцов B (строки B задаются автоматически равными столбцам A). Например, для умножения 2×3 на 3×2 укажите 2 строки A, 3 столбца A и 2 столбца B.

Заполните все поля ввода числами (целыми или дробными). Можно использовать отрицательные значения. Например: 1, 2, 3 в первой строке и 4, 3, 2 во второй.

Нажмите «Рассчитать». Результат появится в правой панели (или снизу на мобильном). Каждый элемент — сумма произведений строки A на столбец B.

Кнопка «Сбросить» очищает все поля и результат. Меняйте размеры — сетка ввода обновится автоматически.

Примеры расчёта

Квадратные матрицы 2×2

Матрица A: [[1, 2], [3, 1]] • Матрица B: [[2, 1], [1, 2]]

Результат C = [[1×2+2×1, 1×1+2×2], [3×2+1×1, 3×1+1×2]] = [[4, 5], [7, 5]]

Строка 1×2 на матрицу 2×1

Матрица A: [1, 2] • Матрица B: [[2], [1]]

Результат = 1×2 + 2×1 = 4 (матрица размером 1×1)

Прямоугольные матрицы 2×3 и 3×2

Матрица A: [[1, 1, 2], [2, 2, 1]] • Матрица B: [[2, 1], [1, 2], [0, 1]]

Результат C = [[3, 5], [6, 5]] (матрица 2×2)

Формулы расчёта

Произведение матрицы A размером m × n и матрицы B размером n × p есть матрица C размером m × p:

C[i][j] = Σ (A[i][k] × B[k][j]) для k = 1 … n

Другими словами: каждый элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы.

Пример для 2×2:

c₁₁ = a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁
c₁₂ = a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂
c₂₁ = a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁
c₂₂ = a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂

Ограничение: число столбцов первой матрицы должно строго равняться числу строк второй. Иначе умножение не определено.

Пошаговое объяснение

Предположим, нужно умножить матрицу A (2 строки, 3 столбца) на матрицу B (3 строки, 2 столбца). Возьмём конкретные числа:

Исходные данные

A = [[1, 2, 1], [2, 1, 1]]
B = [[2, 1], [1, 2], [0, 1]]

Шаг 1. Определяем элемент c₁₁: умножаем первую строку A на первый столбец B.
1×2 + 2×1 + 1×0 = 2 + 2 + 0 = 4

Шаг 2. Элемент c₁₂: первая строка A на второй столбец B.
1×1 + 2×2 + 1×1 = 1 + 4 + 1 = 6

Шаг 3. Элемент c₂₁: вторая строка A на первый столбец B.
2×2 + 1×1 + 1×0 = 4 + 1 + 0 = 5

Шаг 4. Элемент c₂₂: вторая строка A на второй столбец B.
2×1 + 1×2 + 1×1 = 2 + 2 + 1 = 5

Итоговая матрица C = [[4, 6], [5, 5]].

Где применяется

Школьная математика и ЕГЭ: решение систем линейных уравнений, задачи по алгебре и началам анализа.
Компьютерная графика: поворот, масштабирование и перемещение объектов в 2D и 3D пространстве задаются матрицами.
Экономика и финансы: модели межотраслевого баланса (модель Леонтьева), расчёт производственных цепочек.
Программирование и Data Science: нейронные сети, обработка изображений, анализ данных используют матрицы как основной тип данных.
Физика и инженерия: тензорные преобразования, квантовая механика, теория колебаний, расчёт напряжений в конструкциях.
Криптография: шифрование данных с помощью обратимых матриц (например, шифр Хилла).

Важные нюансы

Умножение матриц не коммутативно: A × B не равно B × A в общем случае. Порядок важен.
Для умножения число столбцов A должно равняться числу строк B. В нашем калькуляторе это соблюдается автоматически — строки B скрыто приравниваются к столбцам A.
Результат может содержать дробные числа. Калькулятор округляет значения до 4 знаков после запятой для наглядности, но внутренние вычисления точны.
Если хотя бы одно поле оставлено пустым или содержит нечисловое значение, появится сообщение об ошибке.
Матрицы большой размерности (4×4 и выше) считаются мгновенно, но ручной ввод многих ячеек требует внимательности.
Умножение на единичную матрицу не меняет исходную (A × I = A), а умножение на нулевую даёт нулевую матрицу.

Частые ошибки

Путаница с порядком: пытаются умножить 2×3 на 2×2. Всегда проверяйте, что внутренние размеры совпадают.
Потеря знака: при умножении отрицательных чисел легко ошибиться. Калькулятор надёжнее ручного счёта «в уме» для матриц 3×3 и выше.
Забытые ячейки: пропуск одного нуля или единицы меняет весь результат. Заполняйте все поля, даже нулевые.
Использование запятых в числах: вводите десятичную дробь через точку (3.14), а не запятую (3,14), иначе поле может восприняться как текст.
Смешивание размерностей: не пытайтесь перемножить матрицу 1×2 на 3×1 — внутренние размеры (2 и 3) не совпадают.
Ожидание перестановочности: A × B часто даёт совершенно другой результат, чем B × A, даже если оба умножения возможны.

Ответы на частые вопросы

Можно ли умножить матрицу 2×1 на 2×1?

Нет, число столбцов первой (1) не равно числу строк второй (2). Транспонируйте одну из них или измените размерность.

Что будет, если умножить на нулевую матрицу?

Результатом всегда будет нулевая матрица соответствующего размера.

Почему результат 1×1, а не просто число?

Формально скаляр — это матрица 1×1. В выводе калькулятор показывает её как матрицу, что корректно с математической точки зрения.

Поддерживает ли калькулятор комплексные числа?

Нет, вычисления ведутся на множестве действительных чисел. Мнимая единица не поддерживается.

Как узнать определитель или обратную матрицу?

Данный инструмент предназначен только для умножения. Для других операций потребуется специальный калькулятор.

Что означает «несовместимые размеры»?

Это ошибка, когда столбцов A не равно строкам B. В нашем интерфейсе такая ситуация исключена, но сам принцип важен для понимания.

Источники и справочные данные

Расчёт основан на стандартных правилах умножения матриц из курса высшей алгебры и линейной алгебры. Все формулы соответствуют общепринятым математическим определениям.

Для учебных и справочных целей; при ответственных инженерных или научных расчётах рекомендуется сверять результат вручную или в специализированном ПО.

Умножение матриц: подробное руководство

В математике, особенно в линейной алгебре, умножение матриц — одна из фундаментальных операций. С её помощью решают системы уравнений, трансформируют графику и анализируют данные. Наш калькулятор помогает рассчитать матрицу любого подходящего размера за секунды.

Что такое матрица и зачем её умножать

Матрица — это просто таблица чисел. Размерность записывается как M×N, где M — число строк, N — число столбцов. Когда говорят «дана матрица 2 на 2» или «матрица 3×3», подразумевают её размер. Умножение позволяет комбинировать преобразования: например, сначала повернуть объект, затем отразить — соответствующую матрицу 2×2 умножают на другую матрицу 2×2 и получают итоговое преобразование.

Основное правило умножения

Ключевое условие — внутренние размеры должны совпадать. Если матрица A имеет размер m × n, а B — n × p, то их можно перемножить. Результатом будет матрица C размером m × p. Каждый элемент вычисляется по формуле:

C[i][j] = Σ (A[i][k] × B[k][j])

Проще говоря, берите строку из A и столбец из B, перемножайте соответствующие числа и складывайте. Так получается один элемент результата.

Примеры с конкретными числами

Случай 2×2: Умножим матрицу A = [[1, 2], [3, 1]] на B = [[2, 1], [1, 2]]. Результат — матрица C = [[4, 5], [7, 5]]. Обратите внимание: если поменять множители местами, получится [[5, 4], [5, 7]] — совсем другие числа. Это ярко показывает некоммутативность операции.

Умножение 1×2 на 2×1: Возьмём строку [1, 2] и столбец [[2], [1]]. Результат — 1×2 + 2×1 = 4. Это скаляр, или матрица 1×1. В обратную сторону (2×1 умножить на 1×2) получится уже матрица 2×2: [[2, 4], [1, 2]].

Прямоугольные матрицы: A размером 2×3: [[1, 1, 2], [2, 2, 1]] и B размером 3×2: [[2, 1], [1, 2], [0, 1]]. Итог — 2×2: [[3, 5], [6, 5]]. Такие расчёты встречаются в экономике при составлении баланса отраслей.

Практические применения

Умножение матриц — не абстрактная теория. В компьютерной графике матрицы 4×4 описывают перемещение, поворот и масштабирование объектов. Умножив несколько матриц подряд, получают итоговое преобразование. В нейронных сетях слои представляют собой матрицы, а обучение — это гигантская цепочка матричных умножений. В экономике модель Леонтьева использует умножение матрицы коэффициентов на вектор выпуска, чтобы рассчитать матрицу потребления ресурсов.

Как избежать ошибок при самостоятельном расчёте

Самая частая ошибка — спутать местами строки и столбцы. Даже опытные студенты иногда записывают умножение 2×3 на 2×2, что невозможно. Всегда проверяйте внутренние размеры. Вторая ловушка — арифметические описки при сложении. Когда нужно рассчитать матрицу 3×3 или 4×4, ручной счёт становится утомительным и чреват ошибками. Доверьте рутину калькулятору, а сами сосредоточьтесь на смысле задачи.

Свойства и особенности

Произведение матриц ассоциативно: A×(B×C) = (A×B)×C. Дистрибутивно относительно сложения: A×(B+C) = A×B + A×C. Но, повторим, не коммутативно. Единичная матрица I (единицы по диагонали, нули в остальных позициях) играет роль числа 1: A×I = I×A = A (если размеры позволяют). Нулевая матрица (все нули) при умножении даёт нулевую матрицу.

Когда стоит использовать калькулятор

Онлайн-калькулятор умножения матриц незаменим при решении домашних заданий, быстрой проверке вычислений во время экзамена или при работе с данными в Excel. Даже если вы знаете теорию, пересчитать матрицу 2 на 2 или 3 на 3 вручную занимает время. Калькулятор 2x2, 2x3, 3x3 и других размеров выполняет ту же работу мгновенно.

Нужен другой инструмент?

Все инструменты в категории