Расчёт умножения матриц: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Умножение матриц — это как конвейер: каждая строка первой матрицы «взаимодействует» с каждым столбцом второй. Результат — новая матрица, где каждый элемент — сумма произведений соответствующих элементов строки и столбца. Представьте, что вы на заводе упаковываете пиццы: у вас есть список заказов (строки) и состав каждой пиццы (столбцы). Умножив их, вы получите, сколько всего сыра, колбасы и теста нужно. Без этой операции не обходятся нейросети, 3D-графика и экономические модели.

Пусть A — матрица размером m×n (m строк, n столбцов), B — n×p. Их произведение C = A×B — матрица размером m×p. Элемент c_ij вычисляется так:

Разберём по косточкам:

• c_ij — элемент на пересечении i-й строки и j-го столбца результата;
• a_ik — элемент матрицы A из i-й строки, k-го столбца;
• b_kj — элемент матрицы B из k-й строки, j-го столбца;
• Σ — сумма по всем k от 1 до n (количество столбцов A = строк B).

Простыми словами: берём i-ю строку A, j-й столбец B, попарно перемножаем и складываем. Готово!

Дано:

A = [[1,2],[3,4]], B = [[5,6],[7,8]]

Результат C — тоже 2×2.

• c₁₁ = 1·5 + 2·7 = 5 + 14 = 19
• c₁₂ = 1·6 + 2·8 = 6 + 16 = 22
• c₂₁ = 3·5 + 4·7 = 15 + 28 = 43
• c₂₂ = 3·6 + 4·8 = 18 + 32 = 50

Итог: C = [[19,22],[43,50]].

Хотите проверить сами? Используйте наш Калькулятор умножения матриц.

Размеры согласованы: A (3×2), B (2×3) → C (3×3).

A = [[1,2],[3,4],[5,6]], B = [[7,8,9],[10,11,12]]

Вычисляем каждый элемент C:

• c₁₁ = 1·7 + 2·10 = 7 + 20 = 27
• c₁₂ = 1·8 + 2·11 = 8 + 22 = 30
• c₁₃ = 1·9 + 2·12 = 9 + 24 = 33
• c₂₁ = 3·7 + 4·10 = 21 + 40 = 61
• c₂₂ = 3·8 + 4·11 = 24 + 44 = 68
• c₂₃ = 3·9 + 4·12 = 27 + 48 = 75
• c₃₁ = 5·7 + 6·10 = 35 + 60 = 95
• c₃₂ = 5·8 + 6·11 = 40 + 66 = 106
• c₃₃ = 5·9 + 6·12 = 45 + 72 = 117

Результат: C = [[27,30,33],[61,68,75],[95,106,117]].

Берём A (2×3) и B (3×2):

A = [[1,2,3],[4,5,6]], B = [[7,10],[8,11],[9,12]]

Вычисляем C (2×2):

• c₁₁ = 1·7 + 2·8 + 3·9 = 7+16+27 = 50
• c₁₂ = 1·10 + 2·11 + 3·12 = 10+22+36 = 68
• c₂₁ = 4·7 + 5·8 + 6·9 = 28+40+54 = 122
• c₂₂ = 4·10 + 5·11 + 6·12 = 40+55+72 = 167

Итог: C = [[50,68],[122,167]]. Заметьте: размерность изменилась с (2×3)·(3×2) на (2×2).

• Несовпадение размерностей: если у A столбцов не равно строкам B, умножение невозможно. Всегда проверяйте: число столбцов первой = число строк второй.
• Перестановка порядка: A×B ≠ B×A. Умножение матриц некоммутативно. Если вы получили другой результат при перестановке — это нормально.
• Ошибки в сложении: легко забыть какой-то элемент при суммировании. Делайте промежуточные записи или используйте калькулятор для проверки.
• Путаница с индексами: элемент c₂₁ — это вторая строка, первый столбец. Не перепутайте.

Совет: для маленьких матриц рисуйте «сетку» и двигайте пальцем по строкам и столбцам.

1. Можно ли умножить A (3×4) на B (4×2)?
   Ответ: Да, результат 3×2.
2. Найдите c₂₁ при умножении A=[[1,0],[0,1]] на B=[[2,3],[4,5]].
   Ответ: 0·2+1·4=4.
3. Результат умножения A (2×3) на B (2×3)?
   Ответ: Нельзя — число столбцов A (3) ≠ строк B (2).
4. Вычислите A×A, если A=[[1,2],[3,4]].
   Ответ: [[7,10],[15,22]].
5. Если A — матрица 1×5, B — 5×1, какой размерности будет произведение?
   Ответ: 1×1 (число).

Для быстрой проверки используйте онлайн-инструменты:

• Калькулятор умножения матриц — пошаговое решение для любых размеров.
• Калькулятор ранга матрицы — поможет найти линейную зависимость строк/столбцов.
• Калькулятор матрицы 3 на 3 — для вычислений с квадратными матрицами.
• Калькулятор умножения дробей — пригодится, если элементы дробные.

Просто введите значения — и получите точный результат за секунду.