Расчёт арифметической прогрессии: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что вы решили экономить на отпуск: в первый месяц отложили 1000 ₽, во второй — на 500 ₽ больше (то есть 1500 ₽), в третий — ещё на 500 ₽ больше (2000 ₽) и так далее. Каждый месяц вы добавляете одну и ту же сумму. Это и есть арифметическая прогрессия — последовательность чисел, где разность между соседними членами постоянна.

В математике это выглядит так: a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, где a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = ... = d (разность прогрессии).

Где встречается в жизни:

• Финансы: накопления с фиксированным ежемесячным довложением, кредиты с равными платежами (аннуитет — это тоже прогрессия, но другая).
• Спорт: увеличение нагрузки в тренировках — каждую неделю добавляете одно и то же число подходов или километров.
• Учёба: количество решённых задач растёт на одинаковое число каждый день.
• Строительство: если класть плитку с постоянным смещением, получается арифметическая прогрессия.

Чтобы быстро считать, не нужно каждый раз прибавлять вручную — существуют формулы. А если лень считать, воспользуйтесь нашим Калькулятором арифметической прогрессии — он сделает всё за секунду.

У арифметической прогрессии есть две главные формулы: формула n-го члена и формула суммы. Разберём каждую букву, как на уроке.

Формула n-го члена:

Где:

• aₙ — член прогрессии, который мы ищем (например, сколько денег вы отложите в 12-м месяце).
• a₁ — первый член (сколько отложили в первый месяц).
• n — номер искомого члена (месяц, этап, шаг).
• d — разность прогрессии (на сколько каждый раз увеличивается или уменьшается сумма).

Если d положительное, прогрессия возрастает; если отрицательное — убывает.

Формула суммы первых n членов:

Или, если неизвестен aₙ, можно через d:

Эта формула говорит: чтобы узнать общую сумму накоплений за n месяцев, нужно сложить первый и последний член, умножить на количество членов и разделить пополам.

Не пугайтесь букв — на примерах станет ясно. А если хотите избежать ручного счёта, используйте Калькулятор n-го члена прогрессии.

Задача: Вы откладываете на велосипед. В первый месяц — 500 ₽. Каждый следующий месяц на 200 ₽ больше. Сколько вы отложите в 6-й месяц? Сколько всего накопите за полгода?

Шаг 1: Определяем a₁ = 500, d = 200, n = 6.

Шаг 2: Находим a₆ по формуле: a₆ = 500 + (6 − 1) × 200 = 500 + 5 × 200 = 500 + 1000 = 1500 ₽.

Шаг 3: Находим сумму за 6 месяцев: S₆ = (a₁ + a₆) × 6 / 2 = (500 + 1500) × 3 = 2000 × 3 = 6000 ₽.

Или по второй формуле: S₆ = (2×500 + (6−1)×200) × 6 / 2 = (1000 + 1000) × 3 = 2000 × 3 = 6000 ₽.

Ответ: В 6-й месяц отложите 1500 ₽, всего за полгода — 6000 ₽. Велосипед ближе!

Задача: Вы начали заниматься и в первую неделю сделали 10 подтягиваний. Каждую неделю увеличиваете на 3 подтягивания. Сколько подтягиваний сделаете на 10-й неделе? А сколько всего подтягиваний за 10 недель?

Шаг 1: a₁ = 10, d = 3, n = 10.

Шаг 2: a₁₀ = 10 + (10 − 1) × 3 = 10 + 27 = 37 подтягиваний.

Шаг 3: S₁₀ = (10 + 37) × 10 / 2 = 47 × 5 = 235 подтягиваний.

Ответ: На 10-й неделе сделаете 37 подтягиваний, а за 10 недель — 235. Отличный прогресс!

Чтобы не высчитывать каждый раз вручную, можете использовать Калькулятор прогрессии нагрузки, который специально заточен под спорт.

Задача: Вы взяли кредит 300 000 ₽ на 12 месяцев под простой процент (не аннуитет, а дифференцированный платёж). Каждый месяц вы платите фиксированную часть долга (25 000 ₽) + проценты на остаток. Размер платежа каждый месяц уменьшается на одну и ту же сумму (сумма процентов уменьшается). Сколько вы заплатите в сумме за год, если ставка 12% годовых (1% в месяц)?

Здесь a₁ = платёж в первый месяц = 25 000 + 300 000 × 0.01 = 25 000 + 3000 = 28 000 ₽. Разность d = −250 (каждый месяц сумма процентов уменьшается на 0.01 × 25 000 = 250 ₽, то есть платёж уменьшается на 250 ₽). n = 12.

Шаг 1: a₁₂ = 28 000 + (12 − 1) × (−250) = 28 000 − 2750 = 25 250 ₽.

Шаг 2: S₁₂ = (28 000 + 25 250) × 12 / 2 = 53 250 × 6 = 319 500 ₽.

Ответ: Всего за год выплатите 319 500 ₽, из них 300 000 тело долга и 19 500 ₽ процентов.

Не всякая прогрессия растёт. Вот три особых случая.

Важно: В убывающей прогрессии сумма считается так же — подставьте отрицательный d. Например, если a₁ = 100, d = −10, n = 5, то a₅ = 100 − 40 = 60, S₅ = (100 + 60) × 5 / 2 = 400.

Если d = 0, то aₙ всегда равно a₁, а Sₙ = a₁ × n.

Даже те, кто знает формулы, иногда ошибаются. Вот топ-5 ошибок.

1. Путают n и d. Например, в формуле aₙ = a₁ + (n − 1) × d пишут aₙ = a₁ + n × d. Запомните: n — это номер члена, а (n − 1) — количество шагов от первого до n-го.
2. Неправильно считают сумму. Иногда делят не на 2, а умножают на n. Формула Sₙ = (a₁ + aₙ) × n / 2 — деление пополам обязательно!
3. Не учитывают знак d. Если прогрессия убывает, d отрицательное. Например, a₁ = 100, d = −5, n = 10: a₁₀ = 100 + 9 × (−5) = 55, а не 145.
4. Округляют промежуточные результаты. При расчёте процентов или дробных чисел округление на каждом шаге может накопить ошибку. Лучше считать всё в одной формуле или использовать калькулятор.
5. Путают арифметическую и геометрическую прогрессии. В арифметической прибавляем одно и то же число, в геометрической — умножаем на одно и то же. Если сомневаетесь, вот Калькулятор геометрической прогрессии для второго случая.

Совет: если хотите проверить себя, найдите среднее арифметическое первого и последнего члена — оно равно среднему всех членов прогрессии. Например, в примере с велосипедом (500 и 1500) среднее = 1000, и сумма 6×1000 = 6000 — совпадает.

Попробуйте решить сами, потом сверьтесь.

1. Задача 1: a₁ = 3, d = 4. Найдите a₅ и S₅.
2. Задача 2: В первый день прочитали 5 страниц, каждый следующий на 3 страницы больше. Сколько страниц прочитано за 7 дней?
3. Задача 3: a₁ = 100, a₁₀ = 55. Найдите d и S₁₀.

Ответы:

1. a₅ = 3 + 4×4 = 19; S₅ = (3 + 19)×5/2 = 55.
2. a₁ = 5, d = 3, n = 7; a₇ = 5 + 6×3 = 23; S₇ = (5+23)×7/2 = 98 страниц.
3. 55 = 100 + 9×d ⇒ d = (55−100)/9 = −5; S₁₀ = (100+55)×10/2 = 775.

Всё верно? Поздравляю, вы освоили арифметическую прогрессию! Если где-то ошиблись, перечитайте раздел с формулами или воспользуйтесь Калькулятором среднего арифметического, чтобы проверить средние значения.