Расчёт площади под графиком: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что график — это ваша скорость за день. Площадь под ним — это пройденный путь. Чем больше площадь, тем больше вы прошли. В физике, экономике и статистике это понятие повсюду: от работы газа до общего дохода.

Формально: площадь под графиком функции y = f(x) на отрезке [a, b] — это предел суммы прямоугольников, примыкающих к кривой. Это и есть определённый интеграл.

• S — площадь под кривой;
• ∫ — знак интеграла;
• a, b — границы по оси X;
• f(x) — подынтегральная функция.

Если функция простая (прямая, парабола), интеграл берётся по таблице. Для сложных — используйте калькулятор.

Вычислим площадь под графиком y = 2x от x=0 до x=3.

1. Площадь под прямой — это треугольник. Основание = 3, высота = 6 (значение в x=3).
2. Площадь = ½ · 3 · 6 = 9.
3. Проверим интегралом: ∫₀³ 2x dx = x²|₀³ = 9.

Совпадает!

Найдём площадь под y = x² от x=0 до x=2.

1. Интеграл: ∫ x² dx = x³/3.
2. Подставляем границы: (2³/3) - (0³/3) = 8/3 ≈ 2.667.
3. Если делить на прямоугольники (метод средних), результат будет близким.

Точное значение = 2.667 кв.ед.

Площадь под y = sin(x) от 0 до π.

1. Интеграл: ∫ sin(x) dx = -cos(x).
2. Вычисляем: (-cos(π)) - (-cos(0)) = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2.
3. Площадь = 2.

Это подтверждается Калькулятором площади под графиком.

• Забывают про знак модуля: если график ниже оси X, площадь берётся по модулю.
• Путают пределы интегрирования: a должно быть меньше b.
• Неправильное первообразное: таблицу интегралов надо знать или проверять.

Пример: площадь под sin(x) от 0 до 2π — 4, а не 0!

Самый простой способ — использовать Калькулятор площади под графиком. Вы вводите функцию, границы — и получаете ответ.

Также пригодятся: Конвертер площади, Калькулятор площади стен, Калькулятор площади сада.

1. Площадь под y = 3 от 1 до 5: 12.
2. Площадь под y = x от 0 до 4: 8.
3. Площадь под y = 1/x от 1 до e: 1.

Решили? Проверьте нашим калькулятором.