Расчёт факториала: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что у вас есть 3 пиццы (Маргарита, Пепперони и Гавайская). Сколько существует способов выстроить их в очередь на столе? Первой может быть любая из трёх, второй — одна из двух оставшихся, третьей — последняя. Всего комбинаций: 3 × 2 × 1 = 6. Это и есть факториал числа 3 (обозначается 3!). Факториал — это произведение всех натуральных чисел от 1 до заданного числа n. Зачем он нужен? С его помощью считают количество перестановок, сочетаний, вероятностей — всё, что связано с «сколькими способами можно…». Без него не обойтись в теории вероятностей, криптографии и даже при расчёте скидок в акциях.

Формально факториал числа n (целое неотрицательное) записывается так:

Давайте расшифруем:

• n — любое целое число от 0 (да, ноль тоже факторируем) до, скажем, 170 (дальше начинается бесконечность для обычного калькулятора).
• n! — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно. Например: 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24.
• 0! = 1 — это не опечатка! Так договорились математики, чтобы формулы были красивыми. Если в корзине 0 пицц, то способ выложить их в ряд — ровно один (не выкладывать ничего).

Пример 1. 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5. Сначала перемножим 1×2=2, 2×3=6, 6×4=24, 24×5=120. Итого 120.

Пример 2. 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7. Можно считать по шагам: 7! = 6! × 7 = 720 × 7 = 5040. А 6! мы знаем из прошлых вычислений. Запоминать все факториалы не нужно, но полезно помнить, что 6! = 720.

Пример 3 (хитрый). Вычислим 10! / 8! = ?. Можно расписать: 10! = 1×2×3×4×5×6×7×8×9×10, 8! = 1×2×3×4×5×6×7×8. При делении все множители от 1 до 8 сокращаются, остаётся 9×10 = 90. Ответ: 90. Такие дроби часто встречаются в комбинаторике.

• Путают 0! = 0. Запоминайте: 0! = 1, а не 0. Иначе половина комбинаторных формул сломается.
• Считают, что (n)! × (m)! = (n×m)!. Нет! Факториал нелинеен. 2! × 3! = 2 × 6 = 12, а (2×3)! = 6! = 720.
• Пытаются факториализировать отрицательные числа или дроби. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Для вещественных есть гамма-функция, но это уже высшая математика.
• Забывают про огромный рост. 10! = 3,6 млн, 15! = 1,3 триллиона. Не пытайтесь считать вручную то, что легко делает Калькулятор факториала.

Попробуйте решить сами, а потом сверимся.

1. Сколькими способами можно расставить 5 книг на полке? Ответ: 5! = 120.
2. Сколько существует вариантов выбрать 3 пиццы из 8, если порядок неважен? (это сочетания) Ответ: C(8,3) = 8!/(3!·5!) = 56.
3. Вычислите: 6! / 4! = ? Ответ: (6×5×4!)/4! = 30.
4. Сколько нулей в конце числа 10! ? Подсказка: нули дают множители 2 и 5. Ответ: 10! = 3 628 800, два нуля на конце.

Если что-то пошло не так, проверьте свои расчёты с помощью Калькулятора факториала.

Чтобы не мучиться с умножением больших чисел и не ошибиться с нулями, используйте Калькулятор факториала на нашем сайте. Просто введите число n (от 0 до 170) — и получите точный результат. Инструмент считает мгновенно, показывает пошаговое решение (если нужно) и даже выводит число в экспоненциальной форме для гигантских значений. Это спасёт, когда надо проверить домашнее задание или быстро рассчитать комбинации для рабочей задачи.

1. Факториал 0 чему равен? 0! = 1.
2. Почему 0! = 1? Чтобы формула n! = n·(n−1)! работала при n=1: 1! = 1·0!. Если 0! = 0, получится 1! = 0, что неверно.
3. Как считать факториал больших чисел? Используйте Калькулятор факториала на нашем сайте — он обрабатывает числа до 170.
4. Можно ли считать факториал отрицательных чисел? Нет, только для целых неотрицательных.
5. Что такое двойной факториал? n!! — произведение чисел той же чётности, например 6!! = 6×4×2 = 48.
6. Где применяется факториал в реальной жизни? В комбинаторике, теории вероятностей, расчёте лотерей, криптографии, математической статистике.