Расчёт геометрической прогрессии: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждое следующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (q). Проще говоря: вы начинаете с числа, а потом каждый раз его умножаете на одно и то же значение.

Представьте, что вы кладёте в банк 1000 рублей под 10% годовых. Через год на счёте будет 1100, через два — 1210, через три — 1331. Это геометрическая прогрессия с q = 1,1. Аналогично работают: рост популяции бактерий (каждое деление — удвоение, q = 2), цепная реакция деления ядер, амортизация оборудования (ежегодное снижение стоимости на фиксированный процент, q < 1).

Геометрическая прогрессия бывает возрастающей (q > 1) и убывающей (0 < q < 1). Если знаменатель отрицателен, члены прогрессии знакопеременные. Важно различать геометрическую и арифметическую прогрессии: в геометрической разница между членами растёт, а в арифметической — постоянна.

Для расчётов используют две главные формулы:

bₙ — n-й член прогрессии; b₁ — первый член; q — знаменатель; n — номер члена (натуральное число). Пример: дано b₁ = 2, q = 3, найти b₃. Подставляем: b₃ = 2·3³⁻¹ = 2·9 = 18.

Sₙ — сумма первых n членов. При q = 1 сумма равна n·b₁. Формула работает для любого q ≠ 1. Например, сумма первых 3 членов из предыдущего примера: S₃ = 2·(27−1)/(3−1) = 2·26/2 = 26. Проверяем: 2 + 6 + 18 = 26. Всё верно.

Если |q| < 1, можно найти сумму бесконечно убывающей прогрессии: S = b₁ / (1 − q). Это пригодится, например, в теории вероятностей.

Задача: Первый член геометрической прогрессии равен 5, знаменатель равен 2. Найдите 5-й член прогрессии.

Решение: Используем формулу bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. b₁ = 5, q = 2, n = 5. b₅ = 5·2⁵⁻¹ = 5·2⁴ = 5·16 = 80.

Ответ: 80.

Проверим: 5, 10 (5·2), 20 (10·2), 40 (20·2), 80 (40·2) — пятый член действительно 80.

Этот пример — база. Понимая его, вы сможете решать большинство задач.

Задача: Найдите сумму первых 6 членов геометрической прогрессии, если b₁ = 3, q = 0,5.

Решение: Применим формулу Sₙ = b₁·(qⁿ−1)/(q−1). b₁ = 3, q = 0,5, n = 6. Вычислим qⁿ = 0,5⁶ = 1/64 = 0,015625. Подставим: S₆ = 3·(0,015625−1)/(0,5−1) = 3·(−0,984375)/(−0,5) = 3·1,96875 = 5,90625.

Ответ: 5,90625.

Проверка вручную: 3 + 1,5 + 0,75 + 0,375 + 0,1875 + 0,09375 = 5,90625. Всё сходится.

Обратите внимание: сумма меньше 6, потому что прогрессия убывающая.

Задача: На вклад в 100 000 рублей начисляется 8% годовых. Какая сумма будет на счёте через 5 лет? Капитализация процентов ежегодная.

Решение: Это геометрическая прогрессия с b₁ = 100 000, q = 1,08 (1 + 0,08) и n = 6 (так как после 5 лет будет 6-й член, если считать начальную сумму первым). Или проще: через 5 лет надо найти b₆ = b₁·q⁵ = 100 000·1,08⁵. 1,08⁵ ≈ 1,46933. Умножаем: 100 000·1,46933 = 146 933 рубля.

Ответ: 146 933 рубля.

Проверка: S₆ = 100 000·(1,08⁶−1)/(0,08) — но это лишнее. Мы нашли именно конечную сумму.

Совет: для быстрых расчётов используйте Калькулятор геометрической прогрессии.

1. Путаница в показателе степени. В формуле bₙ = b₁·qⁿ⁻¹ часто забывают, что степень n−1, а не n. Проверяйте: для первого члена (n=1) степень должна быть 0, чтобы b₁·q⁰ = b₁.
2. Неправильное определение знаменателя q. q = b₂ / b₁. Если дан второй и третий члены, q = b₃ / b₂. Не путайте с разностью арифметической прогрессии.
3. Игнорирование условия q ≠ 1 в сумме. Если q=1, сумма равна n·b₁, а не по основной формуле — там будет деление на ноль.
4. Округление при больших степенях. При расчёте qⁿ с дробным q или большим n округление может сильно исказить результат. Используйте точные вычисления или онлайн-калькуляторы.

Избежав этих ошибок, вы будете получать правильные ответы с первого раза.

1. Задача: b₁ = 4, q = 3. Найдите b₄.
   Ответ: 108.
2. Задача: b₁ = 10, q = 0,2. Найдите сумму первых 4 членов.
   Ответ: 12,48.
3. Задача: Последовательность: 2, 6, 18, 54... . Какой это вид прогрессии?
   Ответ: Геометрическая с q = 3.
4. Задача: Сумма бесконечно убывающей прогрессии с b₁ = 50 и q = 0,8 равна?
   Ответ: 250.

Решили все? Отлично! Если нет — не расстраивайтесь, повторите формулы и попробуйте ещё раз. Для проверки используйте Калькулятор n-го члена прогрессии.

Чтобы избежать ошибок и сэкономить время, используйте специализированные инструменты:

• Калькулятор геометрической прогрессии — вычисляет члены и сумму по заданным параметрам.
• Калькулятор n-го члена прогрессии — быстро находит любой член.
• Калькулятор геометрического среднего — полезен для анализа темпов роста.
• Если вы увлекаетесь спортом, обратите внимание на Калькулятор прогрессии нагрузки.

Все калькуляторы бесплатны и работают прямо в браузере. Вводите данные — получаете результат.

Бесконечно убывающая прогрессия — это когда |q| < 1. Сумма всех её членов находится по формуле S = b₁ / (1 − q). Пример: b₁ = 100, q = 0,5 → S = 100 / 0,5 = 200. Это используется в финансовых расчётах, например, для оценки пожизненной ренты.

Знакопеременная прогрессия возникает при q < 0. Члены скачут с плюса на минус. Сумма считается по той же формуле, но будьте внимательны со знаками. Пример: b₁ = 2, q = -3: последовательность 2, -6, 18, -54, 162... Сумма первых 4 членов: 2−6+18−54 = -40.

Для закрепления материала пройдите Тест по геометрии.