Расчёт χ-квадрат критерия: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Критерий χ² (хи-квадрат) — это статистический тест, который проверяет, насколько наблюдаемые данные соответствуют ожидаемым. Его придумал Карл Пирсон в 1900 году, и с тех пор он — главный инструмент для анализа таблиц сопряженности.

Когда применяют:

• Сравнение долей: например, одинаково ли мужчины и женщины голосуют за кандидата?
• Проверка независимости: связан ли цвет волос с цветом глаз?
• Согласие с теорией: соответствует ли распределение случайных чисел равномерному?

Главное условие: данные должны быть категориальными (не числовыми, а типа «да/нет», «красный/синий/зеленый»). И ожидаемые частоты в каждой ячейке должны быть не меньше 5 — иначе тест неточен.

Не путайте с Z-критерием: Z проверяет разницу средних, а χ² — разницу частот. У нас есть отдельный Калькулятор Z-критерия, если нужно сравнить средние.

Формула выглядит страшно, но на самом деле это просто сумма квадратов отклонений, деленных на ожидание. Вот она:

Где:

• O_i (Observed) — то, что вы реально увидели в данных, например, 60 орлов из 100.
• E_i (Expected) — то, что ожидалось бы, если бы всё было случайно, например, 50 орлов.
• Σ (сумма) — сложите это для всех категорий.

Пример из жизни: вы заказали 100 пицц, 60 с сыром и 40 с колбасой. Ожидалось поровну (50 и 50). Тогда для сыра: (60-50)²/50 = 100/50 = 2, для колбасы: (40-50)²/50 = 100/50 = 2. Итого χ² = 2+2 = 4.

Чем больше χ², тем сильнее данные отклоняются от случайности. Чтобы понять, большое ли это значение, нужно сравнить с критическим из таблицы. Но проще довериться Калькулятору χ², который сам выдаст p-значение.

Вы подбросили монету 100 раз. Получили 60 орлов, 40 решек. Честная ли монета?

Шаг 1. Сформулируем гипотезы:

• H₀: монета честная (вероятность орла = 0.5).
• H₁: монета нечестная.

Шаг 2. Вычислим ожидаемые частоты: 100×0.5 = 50 орлов, 50 решек.

Шаг 3. Считаем χ²: (60-50)²/50 + (40-50)²/50 = 100/50 + 100/50 = 2 + 2 = 4.

Шаг 4. Степени свободы: (количество категорий - 1) = 2-1 = 1.

Шаг 5. Смотрим критическое значение для df=1, p=0.05: из таблицы χ² = 3.84. Наш χ² (4) больше 3.84, значит, мы отклоняем H₀ — монета нечестная (с вероятностью ошибки 5%).

Воспользуйтесь нашим Калькулятором χ² — он сделает всё за секунду.

Вы спросили 200 человек: «Пьете ли вы кофе сегодня?» и «Работаете ли продуктивно сегодня?». Получили таблицу:

Есть ли связь между кофе и продуктивностью?

Шаг 1. Гипотеза H₀: нет связи (независимы).

Шаг 2. Ожидаемые частоты: для каждой ячейки = (строка × столбец) / итог. Например, для «пил кофе и продуктивен»: (100×120)/200 = 60. Аналогично: «пил кофе и не продуктивен»: (100×80)/200 = 40; «не пил и продуктивен»: (100×120)/200 = 60; «не пил и не продуктивен»: (100×80)/200 = 40.

Шаг 3. Считаем χ²: (70-60)²/60 + (30-40)²/40 + (50-60)²/60 + (50-40)²/40 = 100/60 + 100/40 + 100/60 + 100/40 ≈ 1.67 + 2.5 + 1.67 + 2.5 = 8.34.

Шаг 4. Степени свободы: (строк-1)×(столбцов-1) = (2-1)×(2-1) = 1.

Шаг 5. Критическое χ² для df=1, p=0.05 — 3.84. Наше 8.34 > 3.84, отклоняем H₀ — кофе и продуктивность связаны.

Вы тестируете 3 метода лечения (A, B, C) на 300 пациентах. Результат: выздоровел или нет. Данные:

Зависит ли выздоровление от метода?

Шаг 1. H₀: нет зависимости.

Шаг 2. Ожидаемые: для A, выздоровели: (100×180)/300 = 60; A, не вызд.: (100×120)/300 = 40; B, вызд.: 60; B, не вызд.: 40; C, вызд.: 60; C, не вызд.: 40.

Шаг 3. χ² = (50-60)²/60 + (50-40)²/40 + (60-60)²/60 + (40-40)²/40 + (70-60)²/60 + (30-40)²/40 = 100/60 + 100/40 + 0 + 0 + 100/60 + 100/40 ≈ 1.67 + 2.5 + 1.67 + 2.5 = 8.34.

Шаг 4. Степени свободы: (3-1)×(2-1) = 2.

Шаг 5. Критическое значение для df=2, p=0.05 — 5.99. Наш χ² = 8.34 > 5.99, значит, методы различаются по эффективности.

Ошибка 1: Использование χ² для малых ожидаемых частот (менее 5). Если хотя бы одна ожидаемая частота < 5, результат может быть неверным. Используйте точный критерий Фишера.

• Ошибка 2: Неправильное определение степеней свободы. Для таблицы r×c: (r-1)×(c-1). Не путайте с количеством ячеек.
• Ошибка 3: Забыть про поправку Йетса для таблиц 2×2 с малыми выборками. Вручную это сложно, поэтому лучше сразу использовать Калькулятор χ².
• Ошибка 4: Путать χ² (критерий согласия) с другими тестами. Если у вас две доли — используйте Z-критерий.

Когда вы получили χ² и p-значение, нужно сделать выводы:

• Если p < 0.05: связь статистически значима. Но это не говорит о силе связи. Используйте дополнительные меры (например, коэффициент Cramer's V).
• Если p ≥ 0.05: недостаточно доказательств, чтобы отвергнуть случайность. Это не значит, что связи нет — возможно, мала выборка.

Например, в примере с монеткой p < 0.05 — мы говорим, что монета смещена. Но если бы χ² = 3.5 (меньше 3.84), мы бы сказали: «нет оснований считать монету нечестной».

Всегда проверяйте, что ожидаемые частоты ≥ 5. Если нет — объединяйте категории.

Чтобы не считать вручную, используйте готовые инструменты:

• Калькулятор χ² — введите наблюдаемые и ожидаемые частоты, получите χ² и p-значение.
• Калькулятор Z-критерия — для сравнения двух долей (например, конверсии на сайте).

Совет: Если вы работаете с квадратными таблицами (например, 2×2), для расчета площади квадрата или других геометрических фигур данные не нужны, но вдруг пригодится — вот Калькулятор площади квадрата и Калькулятор квадратного корня. А если нужно сделать фото квадратным — Сделать квадратное фото онлайн.