Расчёт квартилей: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что вы собрали зарплаты 10 друзей: 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 100 тыс. ₽. Чтобы понять распределение, вы сортируете их по возрастанию и делите на 4 кучки по 2,5 человека (но так нельзя — людей не делить пополам). Вместо этого квартили находят границы между этими кучками:

• Q1 (первый квартиль) — зарплата, ниже которой находятся 25% самых низких доходов (≈ 37,5 тыс. ₽).
• Q2 (второй квартиль, он же медиана) — середина: 50% зарплат ниже, 50% выше (≈ 52,5 тыс. ₽).
• Q3 (третий квартиль) — граница, выше которой находятся 25% самых высоких зарплат (≈ 66,25 тыс. ₽).

Квартили помогают не вестись на среднее арифметическое: если один друг получает 100 тыс., среднее взлетит до 55 тыс., но медиана (Q2) честно покажет типичную зарплату — 52,5 тыс.

Для точного расчёта квартилей в небольших выборках (n < 100) используется метод интерполяции — он даёт более точные значения, чем просто взятие элемента.

Где:

• P — позиция квартиля (порядковый номер в отсортированном ряду, может быть дробным).
• i — номер квартиля: 1 для Q1, 2 для Q2, 3 для Q3.
• n — общее количество чисел в ряду.

Если P — целое число, квартиль равен значению элемента с этим номером. Если P дробное, берут два соседних элемента и находят средневзвешенное: Q = A + (B - A) × дробная_часть(P), где A — элемент с номером floor(P), B — элемент с номером ceil(P).

Важно: данные обязательно сортируются по возрастанию перед расчётом!

Пример для ряда [1, 3, 5, 7, 9]: n=5, для Q1: P = 1×(5+1)/4 = 1.5. Элемент 1 (1) и элемент 2 (3): Q1 = 1 + (3-1)×0.5 = 2. Аналогично Q3 = 7 + (9-7)×0.5 = 8.

Дано: зарплаты 5 человек (тыс. ₽): 20, 22, 25, 30, 35.

1. Сортируем: уже по возрастанию.
2. Вычисляем позиции:
   • Q1: P = 1×(5+1)/4 = 1.5 → дробное. Элемент 1 = 20, элемент 2 = 22. Q1 = 20 + (22-20)×0.5 = 21 тыс. ₽.
   • Q2 (медиана): P = 2×(5+1)/4 = 3 → целое. Элемент 3 = 25 тыс. ₽.
   • Q3: P = 3×(5+1)/4 = 4.5 → дробное. Элемент 4 = 30, элемент 5 = 35. Q3 = 30 + (35-30)×0.5 = 32,5 тыс. ₽.

Итог: 25% зарплат ниже 21 тыс., 50% ниже 25 тыс., 75% ниже 32,5 тыс.

Дано: цены на однокомнатные квартиры в спальном районе (млн ₽): 3.5, 4.0, 4.2, 4.5, 4.8, 5.0, 5.2, 5.5, 6.0, 6.8.

1. Сортируем: уже по возрастанию.
2. Вычисляем позиции:
   • Q1: P = 1×(10+1)/4 = 2.75. Элемент 2 = 4.0, элемент 3 = 4.2. Q1 = 4.0 + (4.2-4.0)×0.75 = 4.15 млн ₽.
   • Q2: P = 2×(10+1)/4 = 5.5. Элемент 5 = 4.8, элемент 6 = 5.0. Q2 = 4.8 + (5.0-4.8)×0.5 = 4.9 млн ₽.
   • Q3: P = 3×(10+1)/4 = 8.25. Элемент 8 = 5.5, элемент 9 = 6.0. Q3 = 5.5 + (6.0-5.5)×0.25 = 5.625 млн ₽.

Интерквартильный размах IQR = Q3 - Q1 = 5.625 - 4.15 = 1.475 млн ₽. Это значит, что цены средних 50% квартир различаются не более чем на 1.475 млн.

Хотите быстро рассчитать квартили для своих данных? Используйте наш Калькулятор квартилей — введите ряд чисел и получите Q1, Q2, Q3 и IQR мгновенно.

Дано: баллы 12 студентов по тесту: 55, 60, 60, 65, 70, 75, 75, 80, 85, 90, 90, 95.

1. Сортируем: уже по возрастанию.
2. Вычисляем позиции:
   • Q1: P = 1×(12+1)/4 = 3.25. Элемент 3 = 60, элемент 4 = 65. Q1 = 60 + (65-60)×0.25 = 61.25.
   • Q2: P = 2×(12+1)/4 = 6.5. Элемент 6 = 75, элемент 7 = 75. Q2 = 75 + (75-75)×0.5 = 75.
   • Q3: P = 3×(12+1)/4 = 9.75. Элемент 9 = 85, элемент 10 = 90. Q3 = 85 + (90-85)×0.75 = 88.75.

Результат: половина студентов набрала ≤75 баллов, четверть — ≤61.25, и ещё четверть — ≥88.75. Повторяющиеся значения (60, 75, 90) не помешали — формула интерполяции сглаживает дробные позиции.

Для анализа цен на жильё тоже полезны квартили. Кстати, если вы ремонтируете квартиру, посчитайте смету с помощью Калькулятора сметы ремонта квартиры.

• Ошибка 1: Не сортировать данные. Квартили считаются только по упорядоченному ряду. Решение: всегда сортируйте по возрастанию.
• Ошибка 2: Путать Q1 с минимальным значением. Q1 — это граница нижних 25%, а не самый низкий элемент. Он может не встречаться в данных.
• Ошибка 3: Использовать разные методы расчёта. Есть метод включения (с n) и метод исключения (с n-1). В статье — метод исключения, распространённый в статистических пакетах, но уточните, какой используете.
• Ошибка 4: Не проверять выбросы. Если IQR умноженный на 1.5 прибавить к Q3 или вычесть из Q1, за пределами будут выбросы. Их стоит проанализировать отдельно.

Помните: квартили зависят от размера выборки. Для n < 5 квартили могут быть ненадёжны — лучше использовать минимум 10 значений.

Интерквартильный размах (IQR) — это разница между третьим и первым квартилями: IQR = Q3 - Q1. Он показывает разброс средних 50% данных, игнорируя экстремально низкие и высокие значения.

Зачем это нужно?

• Поиск выбросов: значения ниже Q1 - 1.5×IQR или выше Q3 + 1.5×IQR считаются потенциальными выбросами.
• Сравнение распределений: две выборки с одинаковой медианой могут иметь разный IQR, что говорит о разной степени однородности.
• Устойчивость: в отличие от стандартного отклонения, IQR не чувствителен к выбросам.

Рассчитайте IQR мгновенно с помощью Калькулятора интерквартильного размаха.

Проверьте себя: найдите квартили для следующих наборов данных (ответы — после задачек).

1. Задачка 1. Время выполнения задач (мин): 5, 7, 8, 10, 12. Найдите Q1, Q2, Q3.
2. Задачка 2. Цены на кофе (₽): 150, 180, 200, 220, 250, 300. Найдите Q1 и Q3.
3. Задачка 3. Возраст участников опроса: 18, 21, 21, 25, 30, 35, 40, 45. Найдите Q1 и Q3.

Ответы: Задачка 1: Q1=6.5, Q2=8, Q3=10.5. Задачка 2: Q1=172.5, Q3=237.5. Задачка 3: Q1=21, Q3=37.5.

Квартили применяются повсюду:

• Анализ зарплат: работодатели смотрят Q1 и Q3, чтобы установить вилку оклада.
• Недвижимость: риелторы делят цены на квартили: эконом (до Q1), комфорт (Q1-Q2), бизнес (Q2-Q3), элита (выше Q3).
• Медицина: квартили роста и веса детей для оценки развития.
• Образование: результаты ЕГЭ: Q1 — нижняя граница «четвёрки», Q3 — верхняя граница «пятёрки».

Если вы ремонтируете квартиру, квартили помогут понять, какие цены на материалы типичны, а какие — выброс. А смету удобно составить в Калькуляторе сметы ремонта квартиры.