Расчёт n-го члена прогрессии: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Прогрессия — это последовательность чисел, где каждый следующий член связан с предыдущим постоянным правилом. Она бывает арифметической (складываем/вычитаем одно и то же число) и геометрической (умножаем/делим на одно и то же число).

Зачем считать n-й член? Например, вы хотите узнать, сколько денег накопите через 12 месяцев, если каждый месяц откладываете на 500 рублей больше. Это арифметическая прогрессия с разностью d = 500. А если у вас есть стратегия инвестиций, удваивающая капитал каждый год — это геометрическая прогрессия с q = 2. Формула n-го члена позволяет получить ответ без перебора все 12 шагов.

Для лёгкого расчёта используйте Калькулятор n-го члена прогрессии.

Арифметическая прогрессия — это когда каждый следующий член отличается от предыдущего на одну и ту же величину — разность (d). Формула n-го члена:

Где:

• aₙ — то, что ищем (n-й член);
• a₁ — первый член прогрессии;
• n — номер искомого члена (натуральное число);
• d — разность (d = a₂ - a₁).

Логика: чтобы попасть из первого члена в n-й, нужно сделать (n-1) шагов по d. Если d положительная, последовательность растёт; если отрицательная — убывает.

Пример: в январе откладываете 2000 руб., а каждый следующий месяц на 500 руб. больше. Тогда a₁ = 2000, d = 500. Чтобы узнать, сколько отложите в июле (7-й месяц), подставляем n=7: a₇ = 2000 + (7-1)*500 = 2000 + 3000 = 5000 руб.

Геометрическая прогрессия — это когда каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число — знаменатель (q). Формула n-го члена:

Где:

• bₙ — искомый n-й член;
• b₁ — первый член;
• n — номер члена;
• q — знаменатель (q = b₂ / b₁).

Обратите внимание: q может быть дробным (тогда прогрессия затухает) или целым (растёт). Если q = 1, все члены одинаковы.

Пример: бактерия каждую минуту делится на две. Начальное количество b₁ = 1. Сколько бактерий через 5 минут? q=2, n=5+1=6 (через 0 минут — 1, через 1 минуту — 2, …, через 5 минут — 6-й член). b₆ = 1 * 2^(6-1) = 32 бактерии.

Пример 1 (базовый). Дана арифметическая прогрессия: 3, 7, 11, 15, … Найдите 10-й член. Решение: a₁=3, d = 7-3 = 4, n=10. a₁₀ = 3 + (10-1)*4 = 3 + 36 = 39.

Пример 2 (средний). В геометрической прогрессии b₂ = 6, b₃ = 18. Найдите b₇. Решение: q = b₃/b₂ = 18/6 = 3. b₁ = b₂/q = 6/3 = 2. b₇ = 2 * 3^(7-1) = 2 * 3^6 = 2 * 729 = 1458.

Пример 3 (сложный). Сумма первого и третьего членов арифметической прогрессии равна 10, а второй член равен 4. Найдите пятый член. Решение: Пусть a₁ = x, d. Тогда a₂ = x + d = 4, a₃ = x + 2d. По условию x + (x+2d) = 2x+2d = 10. Из первого уравнения x = 4-d. Подставляем: 2(4-d) + 2d = 8-2d+2d = 8 = 10 — противоречие. Проверяем: возможно, сумма a₁ + a₃ = 10, а не a₁ + a₂. Пересчитываем: x + (x+2d)=10 → 2x+2d=10; x+d=4 → x=4-d. Подставляем: 2(4-d)+2d=8-2d+2d=8=10? 8≠10, значит, ошибка в условии? Нет, всё верно: 2x+2d=10, а x+d=4 → 2(x+d)=8, но должно быть 10 — противоречие. Так не бывает. Переформулируем: сумма первого и третьего = 10, а второй = 4 — это возможно, если x=3, d=1? 3+5=8, нет. Если x=2, d=2: 2+6=8. Если x=1, d=3: 1+7=8. Все такие суммы 8, а нужно 10. Значит, в условии нет решения. Показываем, что пример с корректными числами: сумма первого и третьего = 12, второй = 5. Тогда a₁=3, d=2, a₅=3+4*2=11.

Для быстрых расчётов используйте Калькулятор арифметической прогрессии или Калькулятор геометрической прогрессии.

1. Если n = 1. По формуле a₁ = a₁ + (1-1)d = a₁ (верно). b₁ = b₁ * q^(1-1) = b₁ * q⁰ = b₁.

2. Если d = 0. Арифметическая прогрессия превращается в постоянную последовательность: все члены равны a₁. Формула: aₙ = a₁.

3. Если q = 1. Геометрическая прогрессия тоже становится постоянной: все члены равны b₁. Формула: bₙ = b₁ * 1^(n-1) = b₁.

4. Если q < 0. Члены будут чередовать знак. Например, b₁ = 1, q = -2: 1, -2, 4, -8, …

1. Путают n и количество шагов. В формуле (n-1) — именно количество шагов от первого члена. Номер n на 1 больше числа шагов.
2. Ошибка в знаке разности. Если прогрессия убывает, d отрицательна. Например, 10, 7, 4, … d = -3.
3. Неправильно находят q. q = b₂ / b₁, а не b₁ / b₂.
4. Игнорируют порядок действий. Сначала возводим в степень, потом умножаем: bₙ = b₁ * q^(n-1), а не (b₁ * q)^(n-1).

Совет: проверяйте результат для маленьких n (n=1,2,3) — должно совпадать с исходными членами.

1. Арифметическая прогрессия: a₁=5, d=3. Найдите a₇. Ответ: 23
2. Геометрическая прогрессия: b₁=2, q=3. Найдите b₄. Ответ: 54
3. Чему равен 5-й член арифметической прогрессии, если a₁=0, d=-2? Ответ: -8
4. В геометрической прогрессии b₁=1, q=0.5. Найдите b₆. Ответ: 0.03125

Считать вручную — полезно для понимания, но на практике каждый раз выводить формулу муторно. Онлайн-калькуляторы делают это мгновенно. Например, для арифметической прогрессии введите a₁, d и n — получите aₙ. Для геометрической — b₁, q, n. На нашем сайте есть несколько специализированных инструментов:

• Калькулятор n-го члена прогрессии — универсальный, подходит для обоих типов.
• Калькулятор арифметической прогрессии — только для арифметической, с дополнительными функциями.
• Калькулятор геометрической прогрессии — для геометрической.
• Калькулятор суммы арифметической прогрессии — если нужно найти сумму первых n членов.
• Калькулятор прогрессии нагрузки — для фитнеса, чтобы постепенно увеличивать веса.

Эти калькуляторы экономят время и исключают ошибки. Вводите данные — и готово!