Расчёт неравенств: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Неравенство — это как весы, где одна чаша тяжелее другой. В математике мы используем знаки, чтобы показать, какое число больше, меньше или не равно другому. Решать неравенства нужно, когда мы хотим найти все значения переменной, при которых неравенство верно. Например: «Сколько нужно зарабатывать, чтобы хватало на жизнь?» — это тоже неравенство.

Основные знаки:

• < — меньше (например, 3 < 5)
• > — больше (5 > 3)
• ≤ — меньше или равно (x ≤ 10: x может быть 10 или меньше)
• ≥ — больше или равно (y ≥ 0: y от 0 до бесконечности)

Зачем это нужно? В жизни: чтобы уложиться в бюджет, рассчитать время в пути, выбрать тариф мобильного. В учебе — без неравенств не сдашь ОГЭ/ЕГЭ.

Единой формулы для всех неравенств нет, но есть универсальный алгоритм, как у пиццы: тесто, соус, начинка.

Шаг 1. Перенесите все слагаемые в одну сторону, чтобы справа остался ноль. Если переносите через знак неравенства, меняйте знак слагаемого на противоположный (как в уравнении).

Шаг 2. Приведите подобные слагаемые. Например:

Шаг 3. Если требуется, разделите обе части на коэффициент при x. Важно: если делите на отрицательное число, знак неравенства переворачивается! Пример:

Шаг 4. Запишите ответ в виде числового промежутка. Например, x > 8 — это (8; +∞). Если неравенство нестрогое (≤ или ≥), скобки квадратные: [8; +∞).

Запомните: при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный!

Разберем на живом примере:

Шаг 1. Переносим -7 вправо:

Шаг 2. Делим на 3 (число положительное, знак не меняем):

Ответ: x ≤ 7, или (−∞; 7].

Проверка: возьмите x=0, тогда 3*0−7=−7 ≤ 14 — верно. Если x=10, то 30−7=23, 23 ≤ 14 — неверно. Работает!

Неравенство с квадратом — уже интереснее:

Шаг 1. Находим корни уравнения x² − 5x + 6 = 0 через дискриминант или теорему Виета. Корни: x1 = 2, x2 = 3.

Шаг 2. Рисуем числовую прямую, отмечаем корни (выколотые, так как знак строгий >). Определяем знаки на промежутках. Подставьте x=0: 0−0+6=6 > 0, значит слева от 2 знак +. Между 2 и 3, например x=2,5: 6,25−12,5+6=−0,25 < 0, знак −. Справа от 3, x=4: 16−20+6=2 > 0, знак +.

Шаг 3. Выбираем промежутки с плюсом: (−∞;2) ∪ (3;+∞).

Ответ: x < 2 или x > 3.

Решим:

Шаг 1. Находим нули числителя (x=1) и точки, где знаменатель обращается в ноль (x=−2). Эти точки разбивают прямую.

Шаг 2. Отмечаем точки на прямой: x=−2 выколотая (знаменатель не может быть нулем), x=1 закрашенная (так как неравенство нестрогое, числитель может быть ноль).

Шаг 3. Определяем знаки: подставьте x=−3: (−3−1)/(−3+2)=−4/−1=4 > 0, знак +. Между −2 и 1: x=0 → −1/2=−0,5 < 0, знак −. Справа от 1: x=2 → 1/4=0,25 > 0, знак +.

Шаг 4. Выбираем, где ≥0: (−∞;−2) ∪ [1;+∞).

Ответ: x < −2 или x ≥ 1.

Даже опытные математики иногда спотыкаются. Вот топ-5 ловушек:

• Забывают перевернуть знак при умножении на отрицательное. Например, −2x < 6 → x < −3 (неверно!). Правильно: x > −3.
• Неправильно раскрывают скобки. Если перед скобкой минус, меняйте знаки всех слагаемых.
• Игнорируют область определения. В дробных неравенствах знаменатель не может быть равен нулю. Всегда выкалывайте такие точки.
• Путают строгие и нестрогие знаки. < и > — выколотые точки на прямой, ≤ и ≥ — закрашенные.
• Неправильно записывают ответ. Например, x < 2 и x > 3 — это объединение, а не промежуток.

Чтобы не ошибаться, пользуйтесь Калькулятором неравенств — он выдаст ответ мгновенно.

Система — это несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Решение — пересечение их решений.

Пример:

Первое неравенство дает x > 2, второе — x ≤ 5. На числовой прямой пересечение — от 2 (не включая) до 5 (включая). Ответ: (2; 5].

Алгоритм:

1. Решите каждое неравенство отдельно.
2. Нанесите все решения на одну числовую прямую.
3. Выделите общую часть — это и есть ответ.

Если пересечения нет (например, x < 1 и x > 10), система не имеет решений.

Проверьте себя, решив эти неравенства:

1. 2x − 3 ≥ 5
2. −x + 4 < 7
3. x² − 9 ≤ 0
4. (x+3)/(x−1) > 0

Ответы:

• 1) x ≥ 4
• 2) x > −3
• 3) −3 ≤ x ≤ 3
• 4) x < −3 или x > 1

Если справились — отлично! Если нет — Калькулятор неравенств поможет разобраться.

Забудьте о ручных расчетах, когда нужно быстро проверить ответ или решить сложное неравенство. Калькулятор неравенств справится с любым типом:

• Линейные: 2x−5 > 3
• Квадратные: x²−4x+3 ≤ 0
• Дробные: (x−2)/(x+5) ≥ 0
• Системы: {x < 4, x ≥ −1}

Просто введите неравенство в поле, нажмите «Рассчитать» — и получите пошаговое решение с ответом. Идеально для школьников, студентов и всех, кто хочет сэкономить время.