Расчёт нормального распределения: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Нормальное распределение описывается функцией плотности вероятности:

Разберём каждый символ через метафору пиццы. Представьте, что вы печёте сотни пицц. μ (мю) — средний диаметр ваших пицц, например, 30 см. σ (сигма) — насколько разбросан диаметр: если все пиццы почти одинаковые, σ мала; если одни по 20 см, другие по 40 — σ большая. x — конкретный размер пиццы, для которого вы хотите найти вероятность. π (пи) ≈ 3,1416 — константа, e ≈ 2,71828 — основание натурального логарифма. Функция f(x) показывает, насколько «типичен» данный x: чем выше f(x), тем чаще встречается такой диаметр. Интеграл от f(x) на интервале даёт вероятность попадания в этот интервал.

Для практических расчётов удобнее использовать интегральную функцию распределения (кумулятивную), которую обычно берут из таблиц или Калькулятор нормального распределения.

Вручную вычислять интеграл сложно, поэтому используют стандартизацию. Превращаем любое нормальное распределение (μ, σ) в стандартное (μ=0, σ=1) с помощью Z-преобразования:

Z показывает, на сколько сигм x отклоняется от среднего. После этого вероятность P(Z ≤ z) берётся из стандартной таблицы (или онлайн-калькулятора).

Пошаговый алгоритм:

1. Записать μ и σ.
2. Вычислить Z для границ интервала.
3. Найти по таблице площади слева от каждого Z.
4. Вычесть из большей площади меньшую.

Пример: рост женщин распределён N(165, 6) см. Какова вероятность, что случайная женщина имеет рост от 160 до 170 см? Сначала Z₁ = (160-165)/6 = -0,833; Z₂ = (170-165)/6 = 0,833. По таблице площадь слева от -0,833 ≈ 0,2023, слева от 0,833 ≈ 0,7977. Разница 0,7977 - 0,2023 = 0,5954 ≈ 59,5%.

IQ в популяции распределён нормально со средним 100 и стандартным отклонением 15. Найдите вероятность того, что IQ случайного человека выше 130.

Решение: μ=100, σ=15. Z = (130-100)/15 = 2. По таблице площадь слева от Z=2 равна 0,9772. Нам нужно справа: 1 - 0,9772 = 0,0228. Ответ: 2,28% людей имеют IQ > 130. Этот результат часто используется в психологии и образовании.

Автомат фасует муку в пакеты. Номинальный вес 1 кг (1000 г), но из-за погрешностей вес распределён нормально с μ=1000 г, σ=20 г. Магазин принимает пакеты с весом от 970 до 1030 г. Какой процент пакетов отбракуется?

Решение: Найдём Z для границ: Z₁ = (970-1000)/20 = -1,5; Z₂ = (1030-1000)/20 = 1,5. Площадь между -1,5 и 1,5 по таблице: 0,9332 - 0,0668 = 0,8664. Значит, 86,64% пакетов проходят. Отбракуется 100% - 86,64% = 13,36%. Для быстрой оценки можно использовать правило трёх сигм: за пределы μ±1,5σ выходит около 13,4%.

Годовой доход малых предприятий распределён нормально с μ=5 млн руб., σ=1,5 млн руб. Найти границы, в которых находится доход 95% фирм.

Решение: Для 95% центральной области нужно симметричное отклонение: Z для 2,5% слева = -1,96; для 97,5% слева = 1,96 (из таблицы). Тогда нижняя граница: μ - Z·σ = 5 - 1,96·1,5 = 5 - 2,94 = 2,06 млн руб.; верхняя: 5 + 2,94 = 7,94 млн руб. Ответ: 95% фирм имеют доход от 2,06 до 7,94 млн руб.

Типичная ошибка: использовать Z=2 (95,45%) вместо 1,96 — это даёт чуть более широкий интервал. Для точности применяйте Z=1,96 для 95%.

Проверить расчёт можно с помощью Калькулятор нормального распределения, указав μ=5, σ=1.5 и вероятность 0.95.

• Забывают σ в знаменателе при вычислении Z: Z = (x-μ)/σ, а не (x-μ).
• Путают одностороннюю и двустороннюю площадь: P(X > a) = 1 - P(Z < z), а P(a < X < b) = P(Z < z₂) - P(Z < z₁).
• Неправильно округляют Z: средняя ошибка при округлении до 2 знаков после запятой обычно мала (<0,01), но при округлении до 1 знака — до 0,03.
• Используют таблицы не того хвоста: некоторые таблицы дают площадь от -∞ до z, другие — от 0 до z. Всегда проверяйте тип таблицы.
• Путают нормальное и биномиальное распределение: биномиальное для больших n сходится к нормальному, но напрямую применять нормальную формулу к дискретным данным без поправки на непрерывность — ошибка.

Совет: если не уверены в ручном счёте, используйте онлайн-инструмент, но понимайте, что он считает.

1. Задача 1: Средний балл студентов по тесту — 70, σ=10. Какая доля студентов набрала выше 90? Ответ: 2,28%.
2. Задача 2: Время работы батарейки ~N(500, 50) часов. Найдите вероятность, что батарейка проработает от 450 до 550 часов. Ответ: 68,27%.
3. Задача 3: Доход клиентов банка ~N(60 000, 15 000) руб. Банк предлагает премиальный тариф для топ-10% по доходам. С какого дохода в рублях начинается премиум? Подсказка: Z для 90% = 1,2816. Ответ: около 79 224 руб.

Ручной счёт по таблицам — прошлый век. Сегодня любой вычисление можно сделать за секунду с помощью Калькулятор нормального распределения. Вам нужно лишь ввести μ, σ и значение x (или интервал) — и вы получите вероятность. Для обратной задачи (найти x по вероятности) тоже есть поля.

Другие полезные инструменты:

• Калькулятор нормальной концентрации — если нормальное распределение в химии (концентрации).
• Калькулятор распределения долей в бизнесе — для нестатистических распределений.

Используйте эти инструменты для быстрой проверки своих решений.