Расчёт периода полураспада реакции: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что у вас есть мешок с 100 монетами. Вы каждый день вынимаете половину монет. За 1 день останется 50 монет, за 2 дня — 25, за 3 — 12,5… Так вот, период полураспада — это тот самый один день, за который количество уменьшилось вдвое.

В химии и физике период полураспада (обозначается T₁/₂) — это время, за которое количество исходного вещества (реагента) снижается в 2 раза. Это не значит, что вещество исчезает совсем — просто его становится в два раза меньше. Процесс подчиняется экспоненциальному закону, и скорость распада характеризуется константой скорости k.

Важно: период полураспада не зависит от начального количества! Для реакции первого порядка он всегда постоянен.

Где это встречается в жизни? Радиоактивный распад (уран, плутоний), выведение лекарств из организма (фармакокинетика), порча продуктов, распад пестицидов в почве. Везде, где количество чего-то уменьшается со временем в геометрической прогрессии.

Главная формула связывает время, начальное количество и оставшееся количество:

Где:

• t — время, прошедшее с начала процесса (в секундах, часах, годах — в каких единицах, в таких и получите T₁/₂);
• ln(2) — натуральный логарифм от 2, приблизительно 0,693;
• N₀ — начальное количество вещества (атомов, массы, концентрации);
• N — количество вещества, оставшееся к моменту времени t.

Для реакций первого порядка (когда скорость пропорциональна концентрации) есть более простая формула:

где k — константа скорости (единица: 1/время). Эта формула удобна, если вы знаете k, например, из эксперимента.

Если вместо N у вас активность (распады в секунду), то формула та же — активность пропорциональна количеству атомов.

Давайте разберёмся на конкретном примере. Пациенту ввели радиоактивный йод-131 для диагностики щитовидной железы. Период полураспада йода-131 равен 8 дням. Сколько останется от начальной дозы через 16 дней?

Дано: N₀ = 100 %, t = 16 дней, T₁/₂ = 8 дней. Найти N.

Решение: За один период полураспада количество уменьшается вдвое. За 16 дней пройдёт 2 периода (16 / 8 = 2). Значит, N = N₀ / 2² = 100 % / 4 = 25 %. Ответ: останется 25 % от начальной дозы.

Проверим по формуле: N = N₀ · (1/2)^(t/T₁/₂) = 100% · 0,5^(16/8) = 100·0,25 = 25%. Всё верно.

Совет: Для целых периодов можно не логарифмировать, а просто делить на 2 столько раз, сколько периодов прошло.

Допустим, вы приняли 500 мг ибупрофена. Его период полувыведения из организма составляет 2 часа. Сколько миллиграммов останется в крови через 5 часов?

Дано: N₀ = 500 мг, t = 5 ч, T₁/₂ = 2 ч. Найти N.

Решение: Используем формулу: N = N₀ · (1/2)^(t/T₁/₂). Подставляем: N = 500 · 0,5^(5/2). Сначала степень: 5/2 = 2,5. Затем 0,5^2,5 = 0,1768 (можно посчитать на калькуляторе). N = 500 · 0,1768 ≈ 88,4 мг. Ответ: через 5 часов останется около 88 мг ибупрофена.

Если бы нам нужно было найти T₁/₂, зная N₀ и N через время t, мы бы использовали формулу: T₁/₂ = (t · ln(2)) / ln(N₀/N). Например, если через 3 часа осталось 300 мг, то ln(500/300)=ln(1,667)=0,511, ln(2)=0,693, t=3, итого T₁/₂ = (3·0,693)/0,511 ≈ 4,07 часа.

В лаборатории изучают распад неизвестного изотопа. Измерения: в момент времени t=0 активность была 1000 распадов/с, через 10 дней активность стала 250 распадов/с. Найдите период полураспада.

Дано: N₀ = 1000, N = 250, t = 10 дней.

Решение: Используем формулу T₁/₂ = (t · ln(2)) / ln(N₀/N).

• Сначала найдём отношение N₀/N = 1000/250 = 4.
• Логарифм ln(4) = 1,386 (можно запомнить: ln(4)=2·ln(2)=1,386).
• ln(2)=0,693.
• Подставляем: T₁/₂ = (10 · 0,693) / 1,386 = 6,93 / 1,386 = 5 дней.

Итак, период полураспада равен 5 дням. Проверка: за 5 дней от 1000 останется 500, ещё за 5 дней (итого 10) — 250. Совпадает.

Важно: Если в задаче даны активности, а не количества, формула та же, так как активность пропорциональна числу атомов.

На практике часто бывают погрешности: если бы N₀=1000, N=240, то отношение =4,167, ln(4,167)=1,427, T₁/₂ ≈ (10·0,693)/1,427 ≈ 4,86 дня. Видите, как малые ошибки влияют на результат.

Даже опытные ученицы и ученики иногда спотыкаются на этих граблях. Давайте разберём самые частые:

• Путают период полураспада с константой скорости: T₁/₂ = 0,693/k, а не k = 0,693/T₁/₂. Проверяйте: чем больше k, тем меньше период.
• Не используют единые единицы времени: Если t в часах, то и T₁/₂ получится в часах. Не смешивайте минуты и часы.
• Забывают, что ln(2) ≈ 0,693, а не 0,5: 0,5 — это 1/2, а не логарифм. Часто ошибаются на контрольных.
• Неверно подставляют в формулу: В формуле T₁/₂ = (t·ln(2))/ln(N₀/N) в знаменателе логарифм отношения начального к остатку, а не наоборот. Если случайно подставить ln(N/N₀), получите отрицательное число.
• Думают, что через один период остаётся ноль: Нет, через один период остаётся ровно половина. Полный распад наступает только через бесконечное время.

Лайфхак: Используйте Калькулятор периода полураспада реакции на нашем сайте, чтобы проверить свои ручные вычисления. Это сэкономит время и нервы.

Ручные расчёты — это полезно для понимания, но в реальной работе время — деньги. Лучший способ — использовать наш Калькулятор периода полураспада реакции. Он мгновенно вычисляет T₁/₂, если вы введёте начальное количество, остаток и время. Поддерживает любые единицы.

Также пригодится Калькулятор порядка реакции — он поможет определить, к какому порядку относится ваша реакция, от чего зависит скорость.

Для справки: вот таблица периодов полураспада некоторых известных изотопов (данные на 2026 год):

Если ваша задача — расчёт кинетики химической реакции, также полезен Калькулятор энтальпии реакции — он поможет понять тепловой эффект.

Проверьте себя:

1. Период полураспада полония-210 — 138 дней. Сколько останется от 10 г через 276 дней? Ответ: 2,5 г (2 периода).
2. Константа скорости реакции первого порядка равна 0,025 с⁻¹. Найдите T₁/₂. Ответ: T₁/₂ = 0,693 / 0,025 = 27,72 с.
3. Через 4 часа активность изотопа снизилась с 800 до 200 распадов/с. Найдите T₁/₂. Ответ: отношение = 4, ln(4)=1,386, T₁/₂ = (4·0,693)/1,386 = 2 часа.

Если что-то не сошлось — перечитайте примеры или воспользуйтесь калькулятором.