Расчёт стандартного отклонения: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Стандартное отклонение (σ — сигма для генеральной совокупности, s — для выборки) показывает, как сильно значения «разбегаются» от среднего. Если бы зарплаты в компании были одинаковыми, отклонение было бы нулевым. Чем больше разброс, тем выше стандартное отклонение.

Пример: два отдела — в первом зарплаты 50 000, 51 000, 49 000 (разброс мал), во втором — 30 000, 70 000, 50 000 (разброс велик). Стандартное отклонение второго отдела будет заметно выше, хотя среднее одинаково — 50 000.

Запомните: стандартное отклонение нельзя сравнивать с коэффициентом вариации (он в процентах).

Во многих сферах (финансы, контроль качества, социология) стандартное отклонение — базовый инструмент. Для быстрого расчёта используйте Калькулятор стандартного отклонения.

Разберём символы:

• σ (сигма) — стандартное отклонение генеральной совокупности (всех объектов). Используется, когда у вас полные данные (например, все студенты группы).
• s — стандартное отклонение выборки (части объектов). Применяется, когда вы делаете вывод по образцу (например, опросили 100 из 1000 человек).
• xᵢ — каждое отдельное значение (i-тый элемент).
• μ (мю) — среднее арифметическое генеральной совокупности.
• x̄ (икс с чертой) — среднее арифметическое выборки.
• N — объём генеральной совокупности.
• n — объём выборки.
• Σ — сумма по всем элементам.
• (xᵢ − μ)² — квадрат отклонения каждого значения от среднего (чтобы убрать знак минус).

Выборка делится на n−1 (поправка Бесселя), чтобы компенсировать смещение оценки для малых выборок. Это важно: если вы работаете с выборкой, всегда используйте n−1.

Условие: у вас есть 5 оценок ученика: 4, 5, 3, 4, 5. Это генеральная совокупность? В данном случае — да, все оценки ученика за четверть. Считаем σ для совокупности.

Шаг 1: среднее μ = (4+5+3+4+5)/5 = 21/5 = 4,2.

Шаг 2: квадраты отклонений: (4−4,2)²=0,04; (5−4,2)²=0,64; (3−4,2)²=1,44; (4−4,2)²=0,04; (5−4,2)²=0,64. Сумма Σ = 0,04+0,64+1,44+0,04+0,64 = 2,8.

Шаг 3: дисперсия = 2,8/5 = 0,56.

Шаг 4: σ = √0,56 ≈ 0,748 (округляем до 0,75).

То есть оценки в среднем отклоняются от 4,2 примерно на 0,75 балла. Это небольшой разброс.

Хотите проверить? Используйте Калькулятор стандартного отклонения.

Условие: вы опросили 6 случайных прохожих о времени в пути до работы (минуты): 25, 30, 35, 40, 45, 50. Это выборка из всех жителей города. Используем s (с n−1).

Шаг 1: среднее x̄ = (25+30+35+40+45+50)/6 = 225/6 = 37,5.

Шаг 2: квадраты отклонений: (25−37,5)²=156,25; (30−37,5)²=56,25; (35−37,5)²=6,25; (40−37,5)²=6,25; (45−37,5)²=56,25; (50−37,5)²=156,25. Сумма Σ = 156,25+56,25+6,25+6,25+56,25+156,25 = 437,5.

Шаг 3: делим на n−1 = 5: 437,5/5 = 87,5 (дисперсия выборки).

Шаг 4: s = √87,5 ≈ 9,354 (около 9,4 минут).

Теперь вы знаете: разброс времени в пути в вашей выборке составляет примерно 9,4 минуты. Для точности используйте Калькулятор стандартной ошибки — он связан с этим показателем.

Условие: у вас есть распределение зарплат в отделе из 10 человек (тыс. руб.):

Это вся совокупность (весь отдел), считаем σ.

Шаг 1: взвешенное среднее μ = (30×2 + 40×3 + 50×4 + 60×1) / 10 = (60+120+200+60)/10 = 440/10 = 44.

Шаг 2: квадраты отклонений с учётом частот: (30−44)²×2 = 196×2=392; (40−44)²×3 = 16×3=48; (50−44)²×4 = 36×4=144; (60−44)²×1 = 256×1=256. Сумма Σ = 392+48+144+256 = 840.

Шаг 3: дисперсия = 840/10 = 84.

Шаг 4: σ = √84 ≈ 9,165 тыс. руб.

Этот пример показывает, как считать, когда данные уже сгруппированы. На практике с большими таблицами удобен Калькулятор стандартного отклонения.

1. Путаница между генеральной совокупностью и выборкой. Главное правило: если данные — это часть (например, 100 из 1000), делите на n−1.
2. Забывают возвести в квадрат. Отклонения берут по модулю? Нет, иначе дисперсия будет нулевой. Обязательно квадрат.
3. Округление промежуточных результатов. Держите хотя бы 3–4 знака после запятой, иначе накопится ошибка.
4. Думают, что стандартное отклонение — это «среднее отклонение». Среднее абсолютное отклонение (MAD) — другой показатель. Стандартное отклонение из-за квадрата чувствительнее к выбросам.
5. Игнорирование единиц измерения. Если данные в рублях, то и σ в рублях. Не путайте с безразмерными величинами.

Если сомневаетесь, доверьте расчёт онлайн-инструменту: Калькулятор стандартного отклонения.

1. Задача 1: Дан ряд: 1, 2, 3, 4, 5. Найдите σ (это совокупность).
   Ответ: μ=3, дисперсия=2, σ≈1,414.
2. Задача 2: Выборка: 10, 12, 11, 13. Найдите s.
   Ответ: x̄=11,5, Σ квадратов=5, s=√(5/3)≈1,291.
3. Задача 3: В группе из 4 человек рост (см): 160, 170, 165, 175. Считая совокупностью, найдите σ.
   Ответ: μ=167,5, дисперсия=31,25, σ≈5,59.

Проверьте себя через Калькулятор стандартного отклонения.

Современные технологии позволяют не мучиться с формулами. Вот что вам пригодится:

• Основной инструмент: Калькулятор стандартного отклонения — вводите числа, получаете σ и s.
• Для выборки и ошибок: Калькулятор стандартной ошибки — если нужно оценить точность среднего.
• В химии: Калькулятор концентрации стандарта — для расчёта концентраций с учётом отклонений.
• Для нестандартных задач: Калькулятор площади нестандартного участка — если нужно посчитать площадь, а не статистику.

При работе с большими данными (Excel, Google Sheets) используйте функции СТАНДОТКЛОН.Г (для совокупности) и СТАНДОТКЛОН.В (для выборки).