Расчёт суммы арифметической прогрессии: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что вы каждый день откладываете в копилку на 10 ₽ больше, чем вчера. Сегодня — 100 ₽, завтра — 110 ₽, послезавтра — 120 ₽. Это и есть арифметическая прогрессия: разница между соседними днями постоянна (10 ₽). А сумма всех накоплений за месяц — это сумма арифметической прогрессии.

В математике последовательность чисел, где каждое следующее отличается от предыдущего на одно и то же число d (шаг или разность), называется арифметической прогрессией. Первый член обозначается a₁, последний — aₙ, а количество членов — n.

Зачем это нужно? В жизни: расчёт накоплений, планирование бюджета, амортизация оборудования, даже в спорте — прогрессия нагрузки (увеличение веса каждую тренировку).

Есть две основные формулы, и выбор зависит от того, что вы знаете:

1. Если известны первый и последний члены:
   S = n × (a₁ + aₙ) / 2
2. Если известны первый член и шаг:
   S = ½ × n × (2·a₁ + d·(n−1))

Расшифруем каждую букву:

• S — сумма всех членов прогрессии (то, что ищем);
• n — количество членов (сколько дней, месяцев, шагов);
• a₁ — первый член (первое число последовательности);
• aₙ — последний член (последнее число);
• d — разность (шаг), на сколько каждый следующий больше предыдущего.

Проверьте себя: если d положительное — прогрессия растёт, если отрицательное — убывает.

Условие: В понедельник вы кладёте в копилку 50 ₽, во вторник — 50 ₽, в среду — 50 ₽… и так все 7 дней. Каждый день сумма одинаковая (d = 0). Это тоже арифметическая прогрессия. Найдите общую сумму за неделю.

Решение:

1. a₁ = 50, d = 0, n = 7.
2. Сначала найдём aₙ: a₇ = a₁ + d·(7−1) = 50 + 0·6 = 50.
3. По первой формуле: S = 7 × (50 + 50) / 2 = 7 × 100 / 2 = 7 × 50 = 350 ₽.

Естественно, можно было просто 50×7, но формула работает и для этого частного случая.

Условие: В первый день откладываете 100 ₽, каждый следующий — на 50 ₽ больше. Сколько накопите за 30 дней?

Решение:

1. a₁ = 100, d = 50, n = 30.
2. Используем вторую формулу: S = 0.5 × 30 × (2·100 + 50·(30−1)) = 15 × (200 + 50·29).
3. 200 + 1450 = 1650. 15 × 1650 = 24 750 ₽.

Чтобы убедиться, можно вычислить последний член: a₃₀ = 100 + 50·29 = 100 + 1450 = 1550 ₽. Тогда по первой формуле: S = 30 × (100 + 1550) / 2 = 30 × 1650 / 2 = 30 × 825 = 24 750 ₽. Всё верно.

Хотите считать быстро? Используйте Калькулятор суммы арифметической прогрессии.

Условие: Вы взяли кредит 120 000 ₽ на 12 месяцев под 12% годовых. Погашение равными долями основного долга (аннуитет не рассматриваем). Каждый месяц основная сумма долга уменьшается на 10 000 ₽ (120 000/12). Проценты начисляются на остаток. Какова общая переплата?

Решение:

1. Проценты за первый месяц: 120 000 × (12%/12) = 120 000 × 0.01 = 1200 ₽.
2. За второй: 110 000 × 0.01 = 1100 ₽, и так далее.
3. Последовательность процентов: 1200, 1100, 1000, …, 100 ₽. Это арифметическая прогрессия с a₁ = 1200, a₁₂ = 100, n = 12, d = -100.
4. Сумма процентов (переплата) по первой формуле: S = 12 × (1200 + 100) / 2 = 12 × 1300 / 2 = 12 × 650 = 7800 ₽.

Общая переплата — 7 800 ₽. Для проверки можно посчитать вручную или довериться Калькулятору суммы арифметической прогрессии.

Важно: реальные кредиты могут использовать другие схемы, но для равномерного погашения основного долга формула работает идеально.

• Путают n и d: n — количество членов, d — шаг. Не пишите d вместо n.
• Забывают сокращать на 2: в формуле S = n·(a₁+aₙ)/2 деление на 2 обязательно.
• Неверно определяют aₙ: если прогрессия убывает, последний член может быть меньше первого; считайте по формуле aₙ = a₁ + d·(n−1).
• Думают, что формула только для возрастающих: она работает и для убывающих (d отрицательно).

Чтобы избежать ошибок, проверяйте себя на простых примерах: если a₁=2, d=2, n=3, то члены: 2,4,6, сумма=12. По формуле: 3×(2+6)/2 = 3×8/2 = 12.

1. Постоянная последовательность (d=0): все члены равны. Сумма = n × a₁. Формула работает: S = n×(a₁+a₁)/2 = n×a₁.

2. Неполная прогрессия: если нужно найти сумму не с первого, а с k-го члена. Используйте формулу для отрезка: S = m × (a_k + a_{k+m-1})/2, где m — количество членов отрезка.

3. Прогрессия с дробным шагом: ничего страшного, d может быть дробным, например 0.5.

4. Огромные числа: при n > 10⁶ используйте второй вариант формулы, чтобы избежать переполнения при вычислении aₙ.

1. Найдите сумму всех чётных чисел от 2 до 100 (включительно). Ответ: 2550 (n=50, a₁=2, a₅₀=100).
2. В первый день ты прочитал 10 страниц, каждый следующий на 5 страниц больше. Сколько прочитаешь за 10 дней? Ответ: 325 страниц.
3. Сумма первых 20 членов прогрессии равна 1000, первый член 10. Найдите шаг d. Ответ: 4 (используйте формулу, решите уравнение).

Чтобы не считать вручную, воспользуйтесь специальными калькуляторами. Они мгновенно дадут точный результат.

• Калькулятор суммы арифметической прогрессии — введите a₁, d, n и получите сумму.
• Калькулятор суммы чисел — просто сложите последовательность вручную, если лень вводить параметры.
• Калькулятор n-го члена прогрессии — найдите конкретный член, не считая всю сумму.
• Калькулятор среднего арифметического — среднее арифметическое всех членов равно полусумме первого и последнего (a₁+aₙ)/2, что тоже полезно.

Для спортсменов: Калькулятор прогрессии нагрузки поможет спланировать увеличение весов в тренировках.