Расчёт вариации: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Вариация — это статистическая мера, показывающая, насколько сильно значения в наборе данных разбросаны относительно среднего. Проще говоря, если вы заказали пиццу пять раз и цены были 300, 400, 350, 500, 450 ₽ — вариация покажет, насколько эти цены «прыгали».

Зачем это нужно? Представьте, что вы инвестор и сравниваете доходность двух акций. Средняя доходность может быть одинаковой — 10%, но одна акция стабильно даёт 10±1%, а другая — от -5% до +25%. Вторая акция рискованнее, и вариация как раз покажет этот разброс. Чем выше вариация, тем выше риск.

Выделяют три вида вариации:

• Дисперсия (σ²) — средний квадрат отклонений, базовая мера.
• Среднеквадратическое отклонение (σ) — корень из дисперсии, удобнее для интерпретации.
• Коэффициент вариации (CV) — отношение σ к среднему, позволяет сравнивать разброс разных выборок.

Для точного расчёта рекомендую использовать Калькулятор вариации — он автоматически считает все три показателя. Но чтобы понимать, что он делает, давайте разберём формулу.

Формула дисперсии (вариации) для генеральной совокупности выглядит так:

Где:

• σ² — дисперсия (вариация);
• Σ — знак суммы (сложить все значения);
• x₍ᵢ₎ — каждое отдельное значение в наборе (i-е наблюдение);
• μ — среднее арифметическое всех значений;
• N — количество значений в совокупности.

Для выборки (когда у нас не все данные, а только часть) формула немного другая:

Здесь s² — выборочная дисперсия, x̄ — выборочное среднее, n — объём выборки. Деление на n−1 даёт несмещённую оценку дисперсии генеральной совокупности.

На практике чаще используют среднеквадратическое отклонение (σ или s) — корень из дисперсии. Его единица измерения совпадает с исходными данными, что удобно.

А коэффициент вариации считают так: CV = σ / μ × 100%. Если CV > 33%, выборка считается неоднородной.

Давайте начнём с простого. У нас есть оценки 5 студентов по математике: 4, 5, 3, 4, 4. Найдём дисперсию.

1. Среднее μ: (4+5+3+4+4) / 5 = 20 / 5 = 4.
2. Отклонения от среднего:
   4−4 = 0; 5−4 = 1; 3−4 = −1; 4−4 = 0; 4−4 = 0.
3. Квадраты отклонений: 0² = 0; 1² = 1; (−1)² = 1; 0² = 0; 0² = 0.
4. Сумма квадратов: 0+1+1+0+0 = 2.
5. Дисперсия: 2 / 5 = 0.4.
6. Среднеквадратическое отклонение: √0.4 ≈ 0.632.

Интерпретация: оценки в среднем отклоняются на 0.63 балла от среднего 4. Это небольшая вариация — группа однородна.

Проверьте на Калькуляторе вариации — ответ должен совпасть.

Теперь посложнее. Вы решили сравнить цены на пиццу в пяти ресторанах: 350, 420, 510, 390, 480 ₽. Найдём дисперсию и СКО.

1. Среднее μ: (350+420+510+390+480) / 5 = 2150 / 5 = 430 ₽.
2. Отклонения: 350−430=−80; 420−430=−10; 510−430=80; 390−430=−40; 480−430=50.
3. Квадраты: (−80)²=6400; (−10)²=100; 80²=6400; (−40)²=1600; 50²=2500.
4. Сумма квадратов: 6400+100+6400+1600+2500 = 17000.
5. Дисперсия: 17000 / 5 = 3400 ₽².
6. СКО: √3400 ≈ 58.31 ₽.

Это значит, что цены на пиццу в среднем отклоняются от средней цены 430 ₽ на 58 ₽. Разброс заметный.

Коэффициент вариации: 58.31 / 430 × 100% ≈ 13.56%. Это меньше 33%, значит, выборка относительно однородна.

Теперь перейдём к финансам. У вас есть данные о дневной доходности акции за 4 дня: 2%, -1%, 3%, 0%. Это выборка, поэтому используем формулу с n−1.

1. Выборочное среднее x̄: (2 + (−1) + 3 + 0) / 4 = 4 / 4 = 1%.
2. Отклонения: 2−1=1; −1−1=−2; 3−1=2; 0−1=−1.
3. Квадраты: 1, 4, 4, 1.
4. Сумма квадратов: 1+4+4+1 = 10.
5. Выборочная дисперсия: 10 / (4−1) = 10 / 3 ≈ 3.333 (%²).
6. СКО: √3.333 ≈ 1.826%.

Интерпретация: дневная доходность в среднем отклоняется на 1.83% от среднего 1%. Риск заметный.

Для генеральной совокупности (если бы это были все данные) дисперсия была бы 10/4 = 2.5, но выборка даёт более осторожную оценку.

«Я забыл возвести в квадрат отклонения — получил ноль» — самая частая ошибка новичков.

• Ошибка 1: не возводить отклонения в квадрат. Если просто сложить отклонения, сумма всегда будет равна нулю (положительные и отрицательные компенсируются).
• Ошибка 2: путать генеральную и выборочную дисперсию. Для выборки всегда делите на n−1, иначе оценка будет смещённой (заниженной).
• Ошибка 3: сравнивать дисперсии разных выборок без учёта масштаба. Используйте коэффициент вариации (CV), чтобы учесть разницу в средних.
• Ошибка 4: игнорировать единицы измерения. Дисперсия выражается в квадратах исходных единиц (например, ₽²), что неинтуитивно. Используйте СКО — оно в тех же единицах.

Чтобы избежать этих ошибок, доверьте расчёт Калькулятору вариации — он сам выберет правильную формулу.

Допустим, вы посчитали вариацию и получили число. Что дальше?

• Маленькая дисперсия (CV < 10%) — данные очень стабильны, все значения близки к среднему. Пример: зарплаты в одной должности.
• Средняя дисперсия (10% < CV < 33%) — умеренный разброс, нормальная ситуация для многих процессов. Пример: цены на бензин на разных заправках.
• Большая дисперсия (CV > 33%) — данные сильно разбросаны, выборка неоднородна. Пример: доходы населения (очень богатые и бедные).

Для более точного анализа смотрите на график распределения. Но для быстрой оценки коэффициента вариации используйте Калькулятор коэффициента вариации.

Вариация показывает разброс одной переменной, а ковариация — как две переменные изменяются вместе. Если у вас есть два набора данных (например, цена на нефть и курс рубля), ковариация покажет, связаны ли они.

Формула ковариации похожа на формулу вариации:

где μₓ и μᵧ — средние каждой переменной. Если ковариация положительная, при росте одной переменной другая тоже растёт. Если отрицательная — одна растёт, другая падает.

Для расчёта ковариации удобно использовать Калькулятор ковариации — он избавит от рутины.

Мы разобрали теорию и примеры. Если хотите быстро проверить свои данные, воспользуйтесь нашими инструментами. Ниже — ответы на вопросы, которые чаще всего задают в поисковиках.