Расчёт закона сохранения импульса: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что вы катите по полу тяжёлый шар для боулинга со скоростью 5 км/ч. А теперь представьте, что катите лёгкий теннисный мячик с той же скоростью. Какой из них сложнее остановить? Конечно, шар для боулинга. Почему? Потому что у него больше импульс. В физике импульс (обозначается буквой p) — это мера «количества движения». Чем больше масса тела и чем быстрее оно движется, тем больше его импульс.

Формула проще некуда:

где p — импульс (кг·м/с), m — масса тела (кг), v — скорость тела (м/с).

Обратите внимание: скорость — это вектор, поэтому и импульс — тоже вектор. Если тело движется вправо, импульс направлен вправо. Это важно, когда мы говорим о столкновениях.

Когда тележка сталкивается с другой тележкой, их импульсы могут складываться или вычитаться в зависимости от направления движения. А закон сохранения импульса гласит: в замкнутой системе (на которую не действуют внешние силы) суммарный импульс всех тел остаётся постоянным до и после взаимодействия.

Закон работает везде: от столкновения галактик до отдачи при стрельбе. Теперь, когда мы знаем, что такое импульс, перейдём к главной формуле.

Основная формула закона сохранения импульса выглядит так:

Где:

• m₁ и m₂ — массы первого и второго тела (кг);
• v₁ и v₂ — скорости тел до взаимодействия (м/с);
• u₁ и u₂ — скорости тел после взаимодействия (м/с).

Сумма слева — это общий импульс системы до столкновения, справа — после. Они равны. Важно: все скорости нужно учитывать со знаком плюс или минус в зависимости от направления. Если тела движутся навстречу друг другу, одна из скоростей будет отрицательной.

Для случая, когда после взаимодействия тела движутся вместе (например, сцепились вагончики), формула упрощается:

где u — общая скорость после сцепки.

Представьте бильярдный стол. Шар A массой 0,5 кг катится со скоростью 2 м/с и ударяется о неподвижный шар B той же массы. После удара шар A останавливается. С какой скоростью покатится шар B?

Решение:

1. Запишем формулу сохранения импульса для двух тел: m₁·v₁ + m₂·v₂ = m₁·u₁ + m₂·u₂.
2. Подставим известные значения: m₁ = 0,5 кг, v₁ = 2 м/с, m₂ = 0,5 кг, v₂ = 0 м/с (неподвижен), u₁ = 0 м/с (остановился).
3. Получаем: 0,5·2 + 0,5·0 = 0,5·0 + 0,5·u₂ => 1 = 0,5·u₂ => u₂ = 2 м/с.

Ответ: шар B покатится со скоростью 2 м/с. Как видите, импульс полностью передался от одного шара другому.

Хотите проверить расчёты? Используйте Калькулятор закона сохранения импульса.

Две тележки движутся навстречу друг другу по рельсам. Тележка 1 массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с вправо, тележка 2 массой 3 кг движется со скоростью 1 м/с влево. После столкновения они сцепляются и движутся вместе. Найдите скорость сцепки.

Решение:

1. Примем направление вправо за положительное. Тогда скорость первой тележки v₁ = +3 м/с, второй v₂ = -1 м/с (так как влево).
2. Запишем формулу для неупругого удара (сцепка): m₁·v₁ + m₂·v₂ = (m₁+m₂)·u.
3. Подставим: 2·3 + 3·(-1) = (2+3)·u => 6 - 3 = 5u => 3 = 5u => u = 0,6 м/с.

Ответ: после столкновения тележки поедут вправо со скоростью 0,6 м/с. Знак плюс означает, что направление совпадает с выбранным положительным (вправо).

Из пушки массой 500 кг стреляют ядром массой 20 кг. Начальная скорость ядра при выстреле — 300 м/с. Найдите скорость отката пушки.

Решение:

1. Система «пушка + ядро» в начальный момент неподвижна, поэтому общий импульс равен нулю.
2. После выстрела импульс ядра направлен в одну сторону, пушки — в противоположную. Значит, знаки скоростей противоположны.
3. Запишем сохранение импульса: m_пушки·v_пушки + m_ядра·v_ядра = 0.
4. Пусть v_пушки — скорость отката. Примем направление ядра за положительное, тогда v_ядра = +300 м/с, v_пушки — отрицательная (назад).
5. Подставим: 500·(-v_пушки) + 20·300 = 0. (Знак минус мы ввели явно, чтобы скорость отката была положительной.)
6. Решаем: -500·v_пушки + 6000 = 0 => 500·v_пушки = 6000 => v_пушки = 12 м/с.

Ответ: пушка откатится назад со скоростью 12 м/с. В жизни скорость меньше из-за упоров и тормозов, но расчёты именно такие.

В реальности большинство ударов — промежуточные. Но для расчётов часто используют одну из двух моделей.

«Я забыл поставить минус скорости, и ответ получился неверным». Самая популярная ошибка — не учитывать направление скоростей. Импульс — вектор, и знаки важны.

• Игнорирование знака скорости. Если тела движутся навстречу, одна скорость должна быть с минусом. Иначе импульс не сохранится.
• Путаница между массой и весом. В формулах используется масса (кг), а не вес (Н). Не перепутайте!
• Использование неверной формулы. Для упругого удара нужна система из двух уравнений, а для неупругого — только одно.
• Неучёт системы отсчёта. Все скорости должны быть измерены относительно одной и той же системы. Если вы считаете относительно земли, то и скорости берите относительно земли.

Чтобы избежать этих ошибок, используйте наш Калькулятор закона сохранения импульса.

Ручной расчёт — это отлично для понимания, но когда нужно быстро, лучше воспользоваться онлайн-инструментами. На нашем сайте есть несколько калькуляторов, которые пригодятся не только для закона сохранения импульса, но и для других задач:

• Калькулятор закона сохранения импульса — введите массы и скорости до и после, и получите результат.
• Калькулятор закона Ома — если нужно рассчитать напряжение, ток или сопротивление.
• Калькулятор закона Гука — для расчёта силы упругости пружины.
• Калькулятор закона Грэма — для задач по диффузии газов.

Также у нас есть Тест на импульсивность — не физика, но тоже полезно знать свой характер.

Попробуйте решить сами, а затем сверьтесь с ответами.

1. Мальчик массой 50 кг прыгает с неподвижной лодки массой 100 кг со скоростью 2 м/с относительно лодки. Найдите скорость лодки после прыжка.
2. Пуля массой 10 г летит со скоростью 400 м/с и застревает в бруске массой 200 г, лежащем на гладком столе. С какой скоростью будет двигаться брусок с пулей?
3. Два шара одинаковой массы движутся с одинаковыми скоростями 3 м/с навстречу друг другу. После абсолютно неупругого удара они останавливаются. Верно ли?

Ответы:

1. По закону сохранения импульса: 0 = 50·2 + 100·v => v = -1 м/с. Лодка поплывёт назад со скоростью 1 м/с.
2. 0,01·400 = (0,01+0,2)·u => 4 = 0,21u => u ≈ 19,05 м/с.
3. Да, верно: m·3 + m·(-3) = 0, после удара импульс нулевой, скорость нулевая.