Расчёт коэффициента детерминации: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что вы заказываете пиццу и хотите понять, зависит ли время доставки от расстояния до пиццерии. Вы собрали данные: для 10 заказов записали расстояние (км) и время (мин). Теперь нужно узнать, насколько хорошо расстояние объясняет время. Коэффициент детерминации (R²) даёт ответ в процентах: 0,8 означает, что 80% изменчивости времени доставки объясняется расстоянием, а 20% — другими факторами (пробки, погода).

R² — это число от 0 до 1 (или от 0% до 100%). Чем ближе к 1, тем точнее модель. В статистике его используют для оценки качества регрессионных моделей. Если R² = 0, модель не работает — линия не лучше среднего значения. Если R² = 1, модель идеальна (в реальности почти не бывает).

Формула коэффициента детерминации выглядит устрашающе, но на самом деле это просто отношение. Вот она:

Где:

• SS_res (сумма квадратов остатков) — сумма квадратов разностей между фактическими значениями (y) и предсказанными по модели (ŷ). Показывает, какую ошибку делает модель.
• SS_tot (общая сумма квадратов) — сумма квадратов разностей между фактическими значениями (y) и их средним (ȳ). Показывает общий разброс данных.

Другими словами, R² = 1 − (ошибка модели) / (общий разброс). Если ошибка мала, R² близок к 1.

Ещё формулу можно записать через дисперсии: R² = 1 − (Var(остатков) / Var(y)). Но первый вариант удобнее для ручного счёта.

Допустим, мы изучаем зависимость веса (y, кг) от роста (x, см) у 5 человек. Данные:

Шаг 1. Найдём среднее y: ȳ = (55+70+75+80+90)/5 = 74.

Шаг 2. Вычислим SS_tot: (55-74)² + (70-74)² + (75-74)² + (80-74)² + (90-74)² = 361+16+1+36+256 = 670.

Шаг 3. Построим модель линейной регрессии: ŷ = a + b·x. Найдём a и b по МНК. Для краткости: b = 1,05, a = -112,5. Тогда предсказания: для 160: ŷ=55,5; 170: ŷ=66; 175: ŷ=71,25; 180: ŷ=76,5; 190: ŷ=87.

Шаг 4. Вычислим SS_res: (55-55,5)² + (70-66)² + (75-71,25)² + (80-76,5)² + (90-87)² = 0,25+16+14,0625+12,25+9 = 51,5625.

Шаг 5. R² = 1 − 51,5625/670 ≈ 1 − 0,077 = 0,923. Это отлично: 92,3% изменчивости веса объясняется ростом.

Теперь усложним: оцениваем цену квартиры (y, млн руб.) по площади (x₁, кв.м) и расстоянию до метро (x₂, км). Данные для 6 квартир:

Среднее y: ȳ = (4+5,5+6+7+8,5+9)/6 = 6,67. SS_tot: (4-6,67)²+... = 7,13+1,37+0,45+0,11+3,35+5,43 = 17,84.

По МНК построим модель: ŷ = 0,1·x₁ + 2·x₂ + 1. Получаем предсказания: 30,0.5: 0,1*30+2*0,5+1=3+1+1=5; 40,1:4+2+1=7; 50,0.8:5+1,6+1=7,6; 60,1.5:6+3+1=10; 70,2:7+4+1=12; 80,2.5:8+5+1=14. Сравните с фактическими: 4, 5.5, 6, 7, 8.5, 9 — видны большие остатки.

SS_res: (4-5)²+(5.5-7)²+(6-7.6)²+(7-10)²+(8.5-12)²+(9-14)² = 1+2,25+2,56+9+12,25+25 = 52,06.

R² = 1 − 52,06/17,84 = 1 − 2,92 = −1,92 (отрицательный) — модель ужасна. Причина: неправильные коэффициенты. В реальности модель бы подбирали иначе, но для примера показательно, что R² может быть ниже 0 при плохой модели.

Из физики: тормозной путь (м) пропорционален квадрату скорости (км/ч). Данные:

Если применить линейную регрессию, модель будет плохой. Преобразуем x в x²: новые данные: 400, 1600, 3600, 6400, 10000. Строим линейную регрессию y от x². Находим среднее y: (6+20+42+72+110)/5 = 50. SS_tot: (6-50)²+... = 1936+900+64+484+3600 = 6984.

Модель: ŷ = 0,011·x² + 0,5. Предсказания: для 400: 0,011*400+0,5=4,9; 1600: 18,1; 3600: 40,1; 6400: 70,9; 10000: 110,5. Остатки: 6-4,9=1,1 (1,21); 20-18,1=1,9 (3,61); 42-40,1=1,9 (3,61); 72-70,9=1,1 (1,21); 110-110,5=-0,5 (0,25). SS_res = 1,21+3,61+3,61+1,21+0,25 = 9,89.

R² = 1 − 9,89/6984 ≈ 0,9986. Модель почти идеальна.

«Чем выше R², тем лучше модель» — это не всегда так. Высокий R² может быть из-за переобучения, особенно при малом числе наблюдений или большом количестве предикторов.

• Ошибка 1: Сравнение R² для моделей с разным числом предикторов. Всегда используйте скорректированный R².
• Ошибка 2: Принятие R²=0 как отсутствия связи. Возможна нелинейная зависимость.
• Ошибка 3: Игнорирование выбросов. Один выброс может сильно исказить R².
• Ошибка 4: Уверенность, что высокий R² означает причинно-следственную связь. Это корреляция, не более.

Всегда стройте график остатков: если они не случайны, модель неадекватна, даже при высоком R².

Вместо ручного счёта можно использовать наш Калькулятор коэффициента детерминации. Просто введите пары данных (x и y), и он мгновенно выдаст R², а также коэффициенты регрессии.

Инструкция:

1. Откройте страницу калькулятора.
2. Введите данные в поле «X» (независимая переменная) и «Y» (зависимая), разделяя числа запятыми или пробелами.
3. Нажмите «Рассчитать» — получите R², уравнение регрессии и график.

Калькулятор подходит для проверки ручных расчётов и быстрого анализа. Также на сайте есть другие полезные инструменты: Калькулятор коэффициента вариации для оценки разброса данных, Калькулятор коэффициента трения для физиков, Калькулятор коэффициента атерогенности для здоровья, Калькулятор коэффициента распределения для химиков.

Попробуйте решить сами, а потом сверьтесь с ответами.

1. Задача 1. Даны точки: (1,2), (2,4), (3,6). Найдите R² линейной регрессии y=2x. (Ответ: 1, так как модель идеальна).
2. Задача 2. Те же точки, но модель y=2x+1. Предсказания: 3,5,7. Факт: 2,4,6. Найдите R². (Ответ: 0).
3. Задача 3. SS_res=10, SS_tot=100. Чему равен R²? (Ответ: 0,9).
4. Задача 4. Если модель хуже среднего, какой знак у R²? (Ответ: отрицательный).
5. Задача 5. Можно ли получить R²>1? (Ответ: нет, максимум 1).