Расчёт корней квадратного уравнения: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Квадратное уравнение — это математическая модель, которая встречается в физике, экономике, строительстве и даже в кулинарии, когда нужно рассчитать пропорции. Стандартный вид:

Для решения любого квадратного уравнения достаточно знать три вещи: коэффициенты a, b, c и формулу дискриминанта. Дискриминант — это число, которое показывает, сколько корней у уравнения. Вычисляется он так:

После того как нашли дискриминант, переходим к главной формуле:

1. Записать уравнение: ax² + bx + c = 0.
2. Найти D = b² − 4ac.
3. Если D < 0 — закончить.
4. Если D ≥ 0, вычислить √D.
5. Подставить в формулу: x₁ = (−b + √D)/(2a), x₂ = (−b − √D)/(2a).
6. Упростить (сократить дробь, если можно).

Всё как в кулинарном рецепте — делаем шаг за шагом и получаем готовые корни.

Пример 1. Простое уравнение: x² − 5x + 6 = 0.

Коэффициенты: a = 1, b = −5, c = 6.
D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1.
√D = 1.
x₁ = (5 + 1)/(2·1) = 6/2 = 3.
x₂ = (5 − 1)/(2·1) = 4/2 = 2.
Ответ: 2 и 3.

Пример 2. Сложнее: 2x² − 4x + 1 = 0.

a = 2, b = −4, c = 1.
D = (−4)² − 4·2·1 = 16 − 8 = 8.
√D = √8 = 2√2 ≈ 2,828.
x₁ = (4 + 2√2)/(4) = 1 + √2/2 ≈ 1,707.
x₂ = (4 − 2√2)/(4) = 1 − √2/2 ≈ 0,293.
Ответ: 1 + √2/2 и 1 − √2/2.

Пример 3. С нулевым коэффициентом: 3x² − 12 = 0.

Здесь b = 0, c = −12. Неполное квадратное уравнение.
Можно сразу: 3x² = 12 → x² = 4 → x = ±2.
Или через дискриминант: D = 0² − 4·3·(−12) = 144, √D = 12, x = (0 ± 12)/(6) → x₁ = 2, x₂ = −2.
Ответ: −2 и 2.

Не все квадратные уравнения выглядят как полные. Если b = 0 или c = 0, уравнение неполное. Для них есть лайфхаки:

• ax² + c = 0: переносим c вправо, делим на a, извлекаем корень (не забываем про минус, если c и a разных знаков).
• ax² + bx = 0: выносим x за скобку: x(ax + b) = 0, корни 0 и −b/a.
• Приведённое уравнение: a = 1. Можно использовать теорему Виета: x₁ + x₂ = −b, x₁·x₂ = c. Это быстрее, чем дискриминант.

Для проверки можно воспользоваться Калькулятором корней квадратного уравнения.

1. Забывают про знак минуса: если b = −5, то −b = 5, а b² = (−5)² = 25, не путайте.
2. Неправильно вычисляют дискриминант: частый сбой — забывают умножить на c, пишут b² − 4a вместо b² − 4ac.
3. Путают ± под корнем с ± перед корнем: √D всегда неотрицательно, а знак ± ставится перед дробью.
4. Не сокращают дробь: полученные корни часто можно сократить на общий делитель, например (4 ± 2)/2 = 2 ± 1.
5. Думают, что если D = 0, то корней нет: на самом деле один корень, его находят по формуле x = −b/(2a).

Если хотите проверить себя, используйте Калькулятор квадратного корня для √D.

Попробуйте решить сами, а потом сверьтесь:

• Задача 1: x² − 9 = 0. Ответ: ±3.
• Задача 2: x² + 6x + 9 = 0. Ответ: −3.
• Задача 3: 4x² − 4x + 1 = 0. Ответ: 0,5.
• Задача 4: x² + x − 6 = 0. Ответ: 2 и −3.

Помимо формулы корней, существуют:

• Графический метод: построить параболу y = ax² + bx + c и найти точки пересечения с осью x.
• Выделение полного квадрата: преобразуем ax² + bx + c = a(x + p)² + q, затем решаем.
• Теорема Виета: для приведённых уравнений с целыми корнями.

Для расчёта площади фигур и других задач может пригодиться Калькулятор площади квадрата.