Расчёт квадратного уравнения: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что вы заказали пиццу (квадратную, не удивляйтесь). Её площадь — 36 квадратных сантиметров, а ширина — 4 см. Как узнать длину? Это и есть квадратное уравнение: нужно найти x, если 4·x = 36? Нет, это линейное. А если бы площадь задавалась как x² + 2x = 15? Вот это уже квадратное.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа, и a ≠ 0. Если a = 0, уравнение становится линейным.

• a — старший коэффициент (при x²);
• b — средний коэффициент (при x);
• c — свободный член (просто число).

Примеры: 2x² − 4x + 2 = 0 (a=2, b=−4, c=2); x² + 5x = 0 (a=1, b=5, c=0); 3x² − 27 = 0 (a=3, b=0, c=−27).

Чтобы решить любое квадратное уравнение, нужно найти дискриминант (D). Его формула:

Затем, зная D, находим корни (x₁ и x₂) по формуле:

Знак ± означает, что один раз берём плюс, другой — минус. Если D > 0, получаем два разных корня. Если D = 0 — один корень (говорят «два одинаковых»). Если D < 0 — корней нет (в школе; в институте появятся комплексные).

Важно: сначала всегда вычисляйте D! Он подскажет, сколько решений ждать.

Решим: x² + 5x + 6 = 0. Здесь a=1, b=5, c=6.

1. Считаем D: D = 5² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1 (положительный, значит два корня).
2. Находим √D = √1 = 1.
3. Подставляем в формулу: x₁ = (−5 + 1) / (2·1) = (−4)/2 = −2; x₂ = (−5 − 1)/2 = (−6)/2 = −3.

Проверка: (−2)² + 5·(−2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0; (−3)² + 5·(−3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0. Всё верно!

Решим: 4x² + 12x + 9 = 0. a=4, b=12, c=9.

1. D = 12² − 4·4·9 = 144 − 144 = 0.
2. √D = 0.
3. x = (−12 ± 0) / (2·4) = −12/8 = −1.5.

Единственный корень: −1.5. Проверка: 4·(2.25) + 12·(−1.5) + 9 = 9 − 18 + 9 = 0.

Когда D = 0, не пишите «нет корней» — он один!

Решим: x² + 2x + 5 = 0. a=1, b=2, c=5.

1. D = 2² − 4·1·5 = 4 − 20 = −16 (отрицательный).
2. Корней нет в действительных числах.

Ответ: нет решений. График этой функции (парабола) не пересекает ось X.

Если уравнение приведённое (a=1), то сумму корней можно найти без дискриминанта. Теорема Виета гласит:

Например, для x² − 7x + 10 = 0: сумма корней = 7, произведение = 10. Подбираем числа: 2 и 5 — подходят. Но метод работает только для целых корней. Если корни дробные или нет целых — используйте дискриминант. Или Калькулятор квадратного уравнения.

Если c = 0 (например, 3x² − 6x = 0): выносите x за скобки: x(3x − 6) = 0. Корни: x = 0 и x = 2.

Если b = 0 (например, x² − 9 = 0): переносите c: x² = 9; корни: x = ±3. Не забывайте про минус!

• Случай b=0, c=0: ax² = 0 → x = 0.

• Путают знаки: −b в формуле — если b отрицательное, то −(−b) = +b. Будьте внимательны.
• Забывают про a в знаменателе: делите на 2a, а не на 2.
• Игнорируют D: сразу пишут корни. Всегда сначала D.
• Потеря корня при c=0: x=0 — тоже корень!

Проще всего проверить себя на Калькуляторе квадратного уравнения — он выдаст готовые корни и пошаговое решение.

1. x² − 4 = 0 → Ответ: ±2
2. x² + 6x + 9 = 0 → Ответ: −3
3. 2x² − 8x = 0 → Ответ: 0 и 4
4. x² + x + 1 = 0 → Ответ: нет корней
5. x² − 5x + 6 = 0 → Ответ: 2 и 3

Если ошиблись — повторите формулу D или используйте Калькулятор квадратного уравнения.