Расчёт объёма конуса: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Объём конуса вычисляется по простой формуле:

Где:

• V — объём (в кубических единицах: см³, м³, л и т.д.);
• π (пи) — математическая константа, примерно 3,14159 (в задачах часто округляют до 3,14);
• r — радиус основания конуса (половина диаметра);
• h — высота конуса (расстояние от вершины до центра основания).

Как это запомнить? Представьте пиццу: основание — круг, а высота — сколько слоёв начинки. Но в конусе «начинка» занимает только треть цилиндра с таким же основанием и высотой. Поэтому и берём ⅓.

Если у вас усечённый конус (срезанная вершина), формула усложняется: V = ⅓ π h (R² + r² + R·r), где R и r — радиусы нижнего и верхнего оснований. Но для начала освойте полный конус.

Допустим, у вас рожок диаметром 6 см и высотой 12 см. Какой объём мороженого?

1. Находим радиус: диаметр 6 см → радиус r = 6 / 2 = 3 см.
2. Площадь основания: π r² = 3,14 × 3² = 3,14 × 9 = 28,26 см².
3. Умножаем на высоту: 28,26 × 12 = 339,12 см³.
4. Берём треть: 339,12 / 3 = 113,04 см³.

Итак, объём такого рожка ≈ 113 см³. Это чуть больше стандартного стаканчика мороженого (обычно 100 мл).

Чтобы не считать вручную, используйте Калькулятор объёма конуса — введите радиус и высоту, и получите ответ мгновенно.

Вы купили песок для стройки, и продавец свалил его в кучу. Куча имеет форму конуса: высота 1,5 м, радиус основания 2 м. Сколько в ней кубометров?

1. Радиус: r = 2 м (дан).
2. Площадь основания: π r² = 3,14 × 2² = 3,14 × 4 = 12,56 м².
3. Умножаем на высоту: 12,56 × 1,5 = 18,84 м³.
4. Треть: 18,84 / 3 = 6,28 м³.

Проверьте себя: если бы это был цилиндр, объём был бы 18,84 м³, но конус — это «шапка», поэтому реально песка 6,28 м³. Это около 6,3 куба.

Для таких расчётов удобен Калькулятор объёма грунта — он тоже считает по формуле конуса, просто подставьте свои числа.

У вас есть резервуар для воды в виде перевёрнутого конуса: высота 2 м, диаметр верхнего отверстия 1 м. Сколько литров воды он вмещает?

1. Радиус: 1 м / 2 = 0,5 м.
2. Площадь основания: π × 0,5² = 3,14 × 0,25 = 0,785 м².
3. Умножаем на высоту: 0,785 × 2 = 1,57 м³.
4. Треть: 1,57 / 3 ≈ 0,5233 м³.
5. Переводим в литры: 1 м³ = 1000 л, значит 0,5233 м³ = 523,3 л.

Такой бак вмещает около 523 литров. Если вам нужно посчитать объём газа в конусе, попробуйте Калькулятор объёма газа — он тоже использует формулу объёма.

На практике часто встречаются усечённые конусы — например, ведро или стакан. Формула:

где R — радиус нижнего (большего) основания, r — радиус верхнего (меньшего), h — высота. Пример: ведро высотой 30 см, диаметр дна 20 см (R=10 см), диаметр верха 30 см (r=15 см).

• R² = 100 см², r² = 225 см², R·r = 10·15 = 150 см².
• Сумма: 100 + 225 + 150 = 475 см².
• Умножаем на h: 475 × 30 = 14250 см³.
• Берём треть: 14250 / 3 = 4750 см³ = 4,75 л.

Ещё один частный случай — полусфера (купол). Её объём равен половине объёма шара: V = ⅔ π r³. Но если купол скорее конусообразный, используйте формулу конуса.

1. Путают радиус и диаметр: часто в задаче дают диаметр, а люди подставляют его в формулу как радиус. Всегда делите диаметр на 2!
2. Забывают про ⅓: многие считают как цилиндр (π r² h), забывая умножить на 1/3. Конус всегда в 3 раза меньше цилиндра с тем же основанием и высотой.
3. Неправильные единицы: объём получается в кубических единицах (например, см³). Чтобы перевести в литры, помните: 1 л = 1000 см³ = 0,001 м³.
4. Округление π: если взять π = 3,14, погрешность небольшая, но для точных расчётов (например, в инженерии) используйте π = 3,14159 или кнопку π на калькуляторе.

Совет: всегда проверяйте, что все размеры в одних единицах (метры, сантиметры) перед расчётом.

1. Задача: радиус конуса 4 см, высота 9 см. Найдите объём. Ответ: V = ⅓ × 3,14 × 16 × 9 = 150,72 см³.
2. Задача: конус высотой 10 см и объёмом 200 см³. Найдите радиус. Подсказка: r² = 3V / (π h) = 600 / (3,14 × 10) ≈ 19,1 → r ≈ 4,37 см.
3. Задача: усечённый конус с R=8 см, r=5 см, h=12 см. Ответ: V = ⅓ × 3,14 × 12 × (64 + 25 + 40) = ⅓ × 3,14 × 12 × 129 = 1620,24 см³ ≈ 1,62 л.

Сравните свои результаты с Калькулятором объёма шара (для полусферы) или Калькулятором объёма призмы для других фигур.