Расчёт радиоактивного распада: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Радиоактивный распад — это самопроизвольное превращение нестабильных ядер атомов в другие ядра. Например, уран-238 постепенно превращается в свинец-206. Скорость распада не зависит от температуры, давления или химических реакций — это чисто ядерный процесс.

Знать, сколько вещества осталось, нужно в разных ситуациях:

• Медицина: дозировка радиофармпрепаратов для диагностики и терапии.
• Геология: датировка горных пород и артефактов.
• Ядерная энергетика: контроль за выгоранием топлива и обращением с отходами.
• Экология: оценка загрязнения после аварий.

Для расчёта используют экспоненциальную формулу, которую легко применить на практике. А если не хочется считать вручную — воспользуйтесь Калькулятором радиоактивного распада.

Основная формула радиоактивного распада выглядит так:

Где:

• N — количество оставшихся радиоактивных ядер (в штуках, молях или граммах).
• N₀ — начальное количество ядер (в тех же единицах).
• t — прошедшее время (в секундах, часах, годах — любых единицах, главное, чтобы t и T были в одинаковых единицах).
• T — период полураспада — время, за которое распадается половина ядер (те же единицы, что и t).

Период полураспада — это характеристика конкретного изотопа. Например, период полураспада йода-131 — 8 дней, цезия-137 — 30 лет, углерода-14 — 5730 лет. Значение T берут из справочников или находят с помощью Калькулятора периода полураспада.

Важно: если вы работаете с массой, помните — число ядер пропорционально массе. Например, 1 моль вещества содержит 6,022·10²³ ядер.

Задача: У вас есть 100 г радиоактивного изотопа с периодом полураспада 10 дней. Сколько граммов останется через 10 дней?

Решение:

1. Подставляем в формулу: N = N₀ × (1/2)^(t/T) = 100 г × (1/2)^(10/10) = 100 г × (1/2)^1 = 100 × 0,5 = 50 г.
2. Ответ: 50 г.

Это логично: за один период полураспада остаётся ровно половина. Так же можно считать для любого целого числа периодов: через 2 периода — 1/4 (25 г), через 3 — 1/8 (12,5 г) и т.д.

Чтобы быстро проверить себя, используйте Калькулятор периода полураспада реакции.

Задача: У вас есть 200 мг препарата технеция-99m (период полураспада 6 часов). Сколько останется через 15 часов?

Решение:

1. Вычисляем показатель степени: t/T = 15 / 6 = 2,5.
2. Считаем (1/2)^2,5 = 0,5^2,5. Сначала 0,5^2 = 0,25; 0,5^0,5 = √0,5 ≈ 0,7071. Перемножаем: 0,25 × 0,7071 ≈ 0,1768.
3. Умножаем на N₀: N = 200 мг × 0,1768 ≈ 35,36 мг.
4. Ответ: останется примерно 35,4 мг.

Для расчёта степеней с дробями удобно пользоваться калькулятором. Если под рукой нет инженерного калькулятора, онлайн-калькулятор на нашем сайте поможет.

Задача: Радиоактивный изотоп имеет период полураспада 5 лет. Сколько лет должно пройти, чтобы осталось 10% исходного количества?

Решение:

1. Из формулы N/N₀ = (1/2)^(t/T) подставляем N/N₀ = 0,1.
2. Получаем: 0,1 = 0,5^(t/5).
3. Логарифмируем обе части: ln(0,1) = (t/5) × ln(0,5).
4. Вычисляем: ln(0,1) ≈ -2,3026; ln(0,5) ≈ -0,6931. Отсюда t/5 = (-2,3026)/(-0,6931) ≈ 3,322.
5. Умножаем на 5: t ≈ 16,61 лет.
6. Ответ: примерно 16,6 лет.

Если логарифмы пугают, воспользуйтесь нашим калькулятором — он решит такое мгновенно.

В расчётах радиоактивного распада новички часто допускают одни и те же ошибки. Вот основные:

• Путаница в единицах времени. t и T должны быть в одинаковых единицах. Если T в годах, а t в днях — переводите.
• Неправильное использование логарифмов. Помните: логарифм числа меньше 1 отрицателен. Используйте натуральные логарифмы (ln) или десятичные (lg) — результат от смены основания не изменится.
• Забывают, что распад идёт экспоненциально. За два периода полураспада остаётся не 0, а 1/4. Не путайте с линейным уменьшением.

Совет: если сомневаетесь в ручном счёте, сделайте проверку с помощью Калькулятора радиоактивного распада — это экономит время и исключает арифметические ошибки.

Попробуйте решить самостоятельно. Ответы — в конце списка.

1. Период полураспада изотопа 12 лет. Сколько останется от 80 г через 24 года?
2. Через 2 дня осталось 25% от исходного количества. Каков период полураспада?
3. Исходная активность препарата 1000 Бк. Период полураспада 3 дня. Какая активность будет через 5 дней? (Подсказка: активность прямо пропорциональна количеству ядер.)

Ответы: 1) 20 г; 2) 1 день; 3) Примерно 315 Бк (точнее: 1000×0,5^(5/3)).

Представьте, что у вас есть большая пицца, и каждые 10 минут (период полураспада) кто-то съедает ровно половину оставшейся пиццы. Сначала вы теряете много, потом всё меньше и меньше — никогда не съедят всю до конца, но остаток стремится к нулю. Так же и с ядрами: сначала распадается много, потом всё меньше, но процесс никогда не прекращается полностью.

Для любого радиоактивного изотопа существует постоянная распада λ (лямбда), связанная с периодом полураспада формулой λ = ln(2)/T. Но основная формула с (1/2) проще для понимания.