Расчёт угла между векторами: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Вектор — это направленный отрезок. Он есть у силы, скорости, перемещения. Угол между двумя векторами — это «разница в направлении». Если векторы смотрят в одну сторону — угол 0°, если в противоположные — 180°, если перпендикулярно — 90°. Зачем это нужно? Например, чтобы понять, под каким углом приложить силу, чтобы работа была максимальной, или где будет точка пересечения линий. На практике расчёт угла используется в физике, компьютерной графике, навигации и даже машинном обучении.

Стандартная формула для угла α между векторами a и b:

Здесь:

• a·b — скалярное произведение векторов: a₁·b₁ + a₂·b₂ (для плоскости) или a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃ (для пространства).
• |a| — длина (модуль) вектора a: √(a₁² + a₂²) на плоскости, √(a₁² + a₂² + a₃²) в пространстве.
• |b| — длина вектора b: аналогично.

После нахождения cos α сам угол находим через арккосинус: α = arccos(cos α).

Даны векторы a = (3, 4) и b = (0, 5). Найти угол между ними.

1. Скалярное произведение: a·b = 3·0 + 4·5 = 0 + 20 = 20.
2. Длина a: |a| = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5.
3. Длина b: |b| = √(0² + 5²) = √25 = 5.
4. cos α = 20 / (5·5) = 20/25 = 0,8.
5. α = arccos(0,8) ≈ 36,87°.

Ответ: угол ≈ 36,87°.

Даны a = (-2, 3) и b = (4, -1).

1. a·b = (-2)·4 + 3·(-1) = -8 - 3 = -11.
2. |a| = √((-2)² + 3²) = √(4+9) = √13 ≈ 3,6056.
3. |b| = √(4² + (-1)²) = √(16+1) = √17 ≈ 4,1231.
4. cos α = -11 / (3,6056·4,1231) ≈ -11 / 14,866 ≈ -0,7398.
5. α = arccos(-0,7398) ≈ 137,7°.

Ответ: угол ≈ 137,7° (тупой угол).

Даны a = (1, 0, 2) и b = (3, -4, 0).

1. a·b = 1·3 + 0·(-4) + 2·0 = 3 + 0 + 0 = 3.
2. |a| = √(1² + 0² + 2²) = √(1+0+4) = √5 ≈ 2,2361.
3. |b| = √(3² + (-4)² + 0²) = √(9+16+0) = √25 = 5.
4. cos α = 3 / (2,2361·5) ≈ 3 / 11,1805 ≈ 0,2683.
5. α = arccos(0,2683) ≈ 74,46°.

Ответ: угол ≈ 74,46°.

Хотите проверить? Используйте наш Калькулятор угла между векторами — введите координаты и получите мгновенный результат.

Если один из векторов нулевой, угол не определён (любое значение технически).

Ошибка 1: Путают скалярное произведение с произведением длин. Сначала вычисляем a·b, потом длины, потом делим.

Ошибка 2: Забывают извлечь корень при вычислении длины. Помните: |a| = √(a₁² + a₂²), не просто a₁² + a₂².

Ошибка 3: При использовании калькулятора arccos путают градусы и радианы. Убедитесь, что ответ в градусах, если нужны градусы.

Ошибка 4: Для 3D-векторов забывают третью координату.

Для проверки используйте Калькулятор косинуса угла — убедитесь, что cos α верен.

Попробуйте решить сами, затем сверьтесь с ответами.

1. a = (6,8), b = (0,10). Найти угол.
2. a = (1,1), b = (1,-1). Найти угол.
3. a = (2,0,1), b = (0,4,0). Найти угол.

Ответы: 1) ≈ 36,87°; 2) 90°; 3) 90°.

Чтобы не считать вручную, используйте наши калькуляторы:

• Калькулятор угла между векторами — главный инструмент.
• Калькулятор длины вектора — если нужен только модуль.
• Калькулятор косинуса угла — для проверки cos α.
• Калькулятор синуса угла — иногда нужен sin α.
• Калькулятор тангенса угла — для тангенса угла.