Расчёт вероятности независимых событий: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Независимые события — это такие, исход которых не зависит друг от друга. Классический пример: бросок монеты. Орёл при первом броске никак не влияет на результат второго. А вот если вы достаёте из колоды карту и не возвращаете её — это уже зависимые события: вероятность следующего туза меняется.

Как легко проверить? Задайте себе вопрос: «Меняется ли вероятность второго события в зависимости от того, произошло первое или нет?» Если нет — события независимы.

В жизни независимые события встречаются повсюду: прогноз погоды на два разных дня (если не учитывать циклоны), шанс сломаться у двух разных приборов, выпадение номеров в лотерейных билетах. Понимание этого — первый шаг к правильному расчёту.

Когда нужно найти вероятность, что произойдут оба события (и А, и В), используется правило умножения:

Где:

• P(A и B) — вероятность, что произойдёт и событие A, и событие B одновременно;
• P(A) — вероятность события A (например, 0,5 для орла);
• P(B) — вероятность события B.

Если событий больше — просто перемножаем вероятности всех: P(A и B и C и …) = P(A) × P(B) × P(C) × …

А чтобы найти вероятность, что произойдёт хотя бы одно из событий (например, хотя бы один раз выпадет шестёрка за два броска), удобно использовать обратную вероятность: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного).

Пример: вероятность выпадения шестёрки — 1/6, не шестёрки — 5/6. За два броска: P(ни одной шестёрки) = (5/6) × (5/6) = 25/36. Значит, P(хотя бы одна шестёрка) = 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 0,306.

Эти формулы работают только для независимых событий. Если сомневаетесь — проверяйте условие задачи.

Задача: какова вероятность, что при двух бросках монеты выпадут два орла?

Шаг 1. Определяем вероятность одного орла: P(орёл) = 1/2 = 0,5.

Шаг 2. Броски независимы, поэтому перемножаем: P(два орла) = 0,5 × 0,5 = 0,25 (или 25%).

Проверка: всего 4 равновероятных исхода (ОО, ОР, РО, РР), из которых нам подходит один — ОО. 1 из 4 = 0,25. Всё верно.

Не забывайте: если бы событий было больше — например, три орла подряд — мы бы перемножили 0,5 трижды: 0,5³ = 0,125 (12,5%).

Совет: используйте Калькулятор вероятности независимых событий, чтобы быстро перемножить несколько вероятностей.

Задача: бросаем два кубика. Какова вероятность, что хотя бы на одном выпадет шестёрка?

Здесь удобнее через обратную вероятность:

• P(шестёрка) = 1/6 ≈ 0,1667;
• P(не шестёрка) = 5/6 ≈ 0,8333.

Так как бросок каждого кубика независим, вероятность, что на обоих не выпадет шестёрка: (5/6) × (5/6) = 25/36 ≈ 0,6944.

Значит, P(хотя бы одна шестёрка) = 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 0,3056 (30,56%).

Проверка через прямой перебор (всего 36 комбинаций, 11 содержат шестёрку) — верно.

Этот приём (через «противоположное событие») часто упрощает расчёты, особенно когда событий много.

Задача: студент сдаёт экзамен. Вероятность сдать с первой попытки — 0,4. Если не сдал, пересдача — вероятность 0,7. Если опять не сдал, третья попытка — вероятность 0,9. Какова вероятность, что он сдаст экзамен (хотя бы с одной попытки)?

Внимание: события зависимы, потому что возможность сдать вторую попытку наступает только если первая провалена. Однако расчёт можно сделать через обратную вероятность, перемножая вероятности провала на каждом этапе:

• P(провалить 1-ю) = 1 − 0,4 = 0,6;
• P(провалить 2-ю, если до неё дошёл) = 1 − 0,7 = 0,3;
• P(провалить 3-ю, если до неё дошёл) = 1 − 0,9 = 0,1.

Вероятность провалить все три: 0,6 × 0,3 × 0,1 = 0,018. Следовательно, P(сдать) = 1 − 0,018 = 0,982 (98,2%).

Этот пример показывает, что даже с зависимыми событиями можно использовать умножение, если рассматривать вероятности последовательных шагов. Но если события независимы — всё проще.

Ошибка №1: складывать вероятности вместо умножения. «Если вероятность орла 50%, то два орла подряд — 50%+50%=100%» — это неверно. Правильно — перемножать: 0,5×0,5=25%.

Ошибка №2: забывать, что формула умножения работает только для независимых событий. Если вы вынимаете карты из колоды без возвращения — события зависимые, и вероятность меняется.

Ошибка №3: неправильно применять формулу «хотя бы один». Например, для трёх бросков кубика P(хотя бы одна шестёрка) ≠ 1/6+1/6+1/6 = 0,5. Правильно: 1 − (5/6)³ ≈ 0,421.

Чтобы избежать ошибок, используйте Калькулятор вероятности — он сам применит нужную формулу.

Мы договорились, что статья о независимых событиях, но в жизни часто встречаются зависимые. Например, если вы выбираете две карты из колоды без возвращения — вероятность второй карты зависит от первой. Или если вы проверяете два образца продукции из одной партии — их качество может быть связано общим браком.

Для зависимых событий используется формула условной вероятности: P(A и B) = P(A) × P(B|A), где P(B|A) — вероятность B при условии, что A произошло.

Если вы не уверены в независимости, лучше перестраховаться и сначала проверить условие. А для расчёта времени до события (например, сколько ждать следующей поломки) поможет Калькулятор времени до события.

1. Монету бросают 3 раза. Найти вероятность, что все три раза выпадет решка.
   Ответ: 0,5³ = 0,125 (12,5%).
2. Вероятность, что лампа перегорит за год — 0,1. В комнате 2 лампы (независимо). Какова вероятность, что за год перегорит хотя бы одна?
   Ответ: 1 − (0,9×0,9) = 1 − 0,81 = 0,19 (19%).
3. Игральный кубик бросают дважды. Найти вероятность, что оба раза выпадет число больше 4 (т.е. 5 или 6).
   Ответ: P(>4) = 2/6 = 1/3. Оба раза: (1/3)×(1/3) = 1/9 ≈ 0,111 (11,1%).
4. Вероятность дождя в субботу — 0,3, в воскресенье — 0,4. Найти вероятность, что дождь будет хотя бы в один из выходных.
   Ответ: 1 − (0,7×0,6) = 1 − 0,42 = 0,58 (58%).

Решили всё? Отлично! Если хотите проверить сложные случаи или просто сэкономить время, открывайте Калькулятор вероятности события.