Расчёт интерквартильного размаха: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что вы заказали пиццу на восьмерых, но один друг съел полпиццы, а другой вообще не притронулся. Средний кусок на человека получится, но реальная картина искажена. В статистике то же самое: среднее арифметическое легко «ломается» выбросами. Интерквартильный размах (IQR) — это разница между третьим и первым квартилями. Он показывает, насколько разбросаны данные «в середине», игнорируя крайние 25% с каждой стороны. Где применяется?

• Анализ зарплат: IQR покажет типичный разброс доходов без учёта топ-менеджеров и стажёров.
• Медицина: разброс показателей анализов у здоровых людей.
• Контроль качества: стабильность размеров деталей на производстве.
• Финансы: волатильность доходности активов.

Короче, IQR — это честный показатель разброса, когда данные «грязные».

Формула до смешного проста:

Где:

• Q₁ (первый квартиль) — медиана первой половины отсортированных данных. Это значение, ниже которого лежит 25% данных.
• Q₃ (третий квартиль) — медиана второй половины данных. Выше Q₃ — 25% самых больших значений.
• IQR — размах средней половины (от 25-го до 75-го процентиля).

Аналогия: если данные — это ваши расходы за месяц, Q₁ — типичные мелкие траты, Q₃ — крупные, но не катастрофические. IQR — разница между ними, показывающая диапазон повседневных трат.

Допустим, у вас есть набор зарплат (тыс. руб.) отдела: 30, 35, 40, 42, 45, 50, 55, 60, 120. Шаг 1 — отсортируйте по возрастанию. Шаг 2 — найдите медиану (Q₂). Если данных нечётное количество, медиана — центральное число. У нас 9 чисел: медиана = 45 (пятое число). Шаг 3 — разделите данные на две половины: нижняя половина (все числа меньше медианы) и верхняя (больше медианы). Если количество данных нечётное, медиану не включаем ни в одну половину. Нижняя: 30, 35, 40, 42 (4 числа). Верхняя: 50, 55, 60, 120 (4 числа). Шаг 4 — найдите медиану нижней половины — это Q₁. Для чётного количества медиана = среднее двух центральных. В нижней: (35+40)/2 = 37.5. Шаг 5 — медиана верхней половины — это Q₃: (55+60)/2 = 57.5. Шаг 6 — IQR = 57.5 − 37.5 = 20. Итог: размах типичных зарплат — 20 тыс. руб., без учёта аномалии 120.

Задача: Найдите IQR для оценок ученика: 4, 5, 3, 2, 5, 4, 3. Решение:

1. Сортируем: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5.
2. Медиана (Q₂) — четвёртое число: 4.
3. Нижняя половина: 2, 3, 3 (3 числа). Q₁ = 3 (медиана нижней).
4. Верхняя половина: 4, 5, 5 (3 числа). Q₃ = 5 (медиана верхней).
5. IQR = 5 − 3 = 2.

Ответ: интерквартильный размах оценок — 2 балла. Это значит, что средние 50% оценок разбросаны на 2 балла.

Задача: Зарплаты 10 сотрудников (тыс. руб.): 25, 28, 30, 32, 35, 38, 40, 42, 45, 50. Решение:

1. Данные уже отсортированы.
2. Медиана (Q₂): чисел 10 (чётное), медиана = среднее 5-го и 6-го: (35+38)/2 = 36.5.
3. Нижняя половина: первые 5 чисел: 25, 28, 30, 32, 35. Q₁ = 30 (третье число).
4. Верхняя половина: последние 5 чисел: 38, 40, 42, 45, 50. Q₃ = 42 (третье число).
5. IQR = 42 − 30 = 12.

Ответ: IQR = 12 тыс. руб. Типичный разброс зарплат — 12 тыс., без учёта самых низких и высоких.

Задача: Время выполнения теста (мин.) 15 студентами: 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 35, 40, 90. Найдите IQR и проверьте выбросы.

1. Сортируем: уже отсортировано.
2. Количество = 15 (нечётное). Медиана (Q₂) = 8-е число = 22.
3. Нижняя половина: первые 7 чисел: 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20. Q₁ = 15 (4-е).
4. Верхняя половина: последние 7 чисел: 24, 26, 28, 30, 35, 40, 90. Q₃ = 30 (4-е).
5. IQR = 30 − 15 = 15.
6. Границы выбросов (правило 1.5×IQR): нижняя = Q₁ − 1.5×IQR = 15 − 22.5 = −7.5 (нет выбросов слева). Верхняя = Q₃ + 1.5×IQR = 30 + 22.5 = 52.5. Значение 90 > 52.5 — выброс!

Ответ: IQR = 15 минут. Выброс — 90 минут (возможно, студент отвлёкся).

Инструмент Калькулятор интерквартильного размаха сделает это за секунду.

Ошибка 1: Не сортировать данные. Решение: всегда упорядочивайте от меньшего к большему — это основа.

Ошибка 2: Включать медиану в обе половины при нечётном n. Решение: медиана не входит ни в нижнюю, ни в верхнюю половину.

Ошибка 3: Путать Q₁ и Q₃ с процентилями, рассчитанными разными методами. Решение: в учебных задачах чаще всего используют метод «медиана половины», описанный выше.

Ошибка 4: Использовать IQR для категориальных данных. Решение: IQR применим только к количественным данным (числа).

Совет: если сомневаетесь в ручном расчёте, воспользуйтесь Калькулятором интерквартильного размаха — он выдаст точные Q1, Q3 и IQR.

Маленький IQR (например, 2 балла в оценках) говорит, что данные плотно сгруппированы вокруг медианы — однородная выборка. Большой IQR (например, 12 тыс. руб. в зарплатах) указывает на сильный разброс — неоднородность.

IQR + медиана: Если медиана = 36.5 тыс. руб., а IQR = 12 тыс., то 50% сотрудников получают от 30 до 42 тыс. руб. (Q₁ и Q₃).

Сравнение групп: IQR позволяет сравнить вариабельность разных выборок, даже если их средние разные. Например, IQR зарплат в отделе А = 12, в отделе Б = 5 — в отделе А разброс больше.

Выбросы: Любое значение за пределами [Q₁ − 1.5×IQR, Q₃ + 1.5×IQR] — кандидат на выброс. Это используется в «ящиках с усами» (box plot).

Если нужно просто оценить размах всей выборки (от минимума до максимума), используйте Калькулятор размаха выборки.

Задача 1: Набор: 1, 3, 5, 7, 9. Найдите IQR.

Ответ: Q₁ = 3, Q₃ = 7, IQR = 4.

Задача 2: Набор: 10, 20, 30, 40. Найдите IQR.

Ответ: Q₁ = (10+20)/2 = 15, Q₃ = (30+40)/2 = 35, IQR = 20.

Задача 3: Набор: 2, 2, 2, 2, 2. Чему равен IQR?

Ответ: Q₁ = 2, Q₃ = 2, IQR = 0 (нет разброса).

Задача 4: IQR = 10, Q₁ = 20. Найдите Q₃ и верхнюю границу для выбросов.

Ответ: Q₃ = Q₁ + IQR = 30; верхняя граница = Q₃ + 1.5×IQR = 30 + 15 = 45.