Расчёт объема выборки: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что вы хотите узнать, нравится ли жителям города новая пицца. Опрашивать всех 500 000 человек — дорого и долго. Вы опрашиваете лишь часть — выборку. Но если выборка слишком мала, результаты могут быть случайными: вы попадёте только на фанатов пепперони. Слишком большая — переплатите. Объём выборки — это минимальное количество респондентов, которое нужно опросить, чтобы с заданной точностью судить обо всей популяции.

На практике объём выборки критичен в маркетинговых опросах, социологических исследованиях, A/B-тестировании сайтов и контроле качества продукции. Ошибка в расчёте ведёт к неверным выводам: запуску неудачного продукта или ненужным затратам.

Ключевые понятия:

• Генеральная совокупность (N) — все, кого вы изучаете (например, все жители города).
• Доверительный уровень (z) — вероятность, что результат попадёт в интервал (обычно 95%, z=1.96).
• Погрешность (e) — максимальная ошибка, которую вы допускаете (например, ±5%).

Для бесконечной популяции (когда N > 100 000) используют простую формулу:

Расшифровка:

• n — необходимый объём выборки.
• z — z-оценка (для 95% доверия = 1.96, для 99% = 2.58).
• p — ожидаемая доля (если неизвестна, берут 0.5 для максимальной вариации).
• e — допустимая погрешность (например, 0.05 для 5%).

Для конечной популяции (N < 100 000) добавляют поправку:

где N — размер генеральной совокупности. Если у вас маленькая популяция (например, 500 клиентов), эта поправка значительно уменьшит выборку.

Важно: всегда округляйте n вверх до целого числа.

Задача: Вы хотите узнать долю людей, поддерживающих новую городскую программу. Каков минимальный объём выборки при доверии 95% и погрешности 5%, если нет данных о реальной доле?

Решение:

1. Берём z = 1.96 (для 95%).
2. p = 0.5 (максимальная неопределённость).
3. e = 0.05.
4. Подставляем в формулу: n = (1.96² × 0.5 × 0.5) / 0.05² = (3.8416 × 0.25) / 0.0025 = 0.9604 / 0.0025 = 384.16.
5. Округляем вверх: n = 385.

Ответ: нужно опросить 385 человек. Если у вас конечная популяция (например, 10 000 жителей), используйте поправку: n_adj = 385 / (1 + (385-1)/10000) ≈ 371.

Задача: Согласно прошлым опросам, 60% клиентов довольны сервисом. Сколько клиентов из 2000 нужно опросить, чтобы с 95% точностью оценить долю с погрешностью ±4%?

Решение:

1. z = 1.96, p = 0.6, e = 0.04.
2. n = (1.96² × 0.6 × 0.4) / 0.04² = (3.8416 × 0.24) / 0.0016 = 0.921984 / 0.0016 = 576.24 → 577.
3. Поправка для N=2000: n_adj = 577 / (1 + (577-1)/2000) = 577 / (1 + 0.288) = 577 / 1.288 ≈ 448.0 → 448.

Ответ: достаточно опросить 448 клиентов.

Задача: У вас 100 постоянных клиентов. Сколько нужно опросить, чтобы узнать их удовлетворённость с погрешностью 10% и доверием 95%?

Решение:

1. n = (1.96² × 0.5 × 0.5) / 0.1² = (3.8416 × 0.25) / 0.01 = 96.04 → 97.
2. Поправка: n_adj = 97 / (1 + (97-1)/100) = 97 / (1 + 0.96) = 97 / 1.96 ≈ 49.5 → 50.

Ответ: достаточно опросить 50 человек. Если нужна погрешность 5%, n_adj вырастет до 80, так что выборка зависит от требований к точности.

«Я опросил 30 человек — этого хватит?» Типичное заблуждение. Для погрешности 5% нужно 385, и 30 дают погрешность около 18% — такие данные могут вводить в заблуждение.

Вот 5 частых ошибок:

• Использование неправильного z-значения. Для 95% доверия z=1.96, не путайте с 2.58 (99%).
• Забывают про поправку на конечную популяцию. Для N=500 без поправки получите 385, с поправкой — 217. Экономия ресурсов.
• Выбор p=0.5 без оснований. Если есть предыдущие данные (например, 0.3), используйте их — это уменьшит выборку.
• Округление вниз. Всегда округляйте вверх, иначе погрешность превысит допустимую.
• Игнорирование процента отказов. Если 30% не отвечают, итоговую выборку нужно увеличить на 30%.

Чтобы избежать этих ошибок, используйте Калькулятор объема выборки — он автоматически применяет все формулы.

Шаги для самостоятельного расчёта:

1. Определите генеральную совокупность (N). Если N > 100 000 — используйте формулу без поправки.
2. Выберите доверительный уровень. Для бизнес-опросов чаще 95% (z=1.96).
3. Задайте допустимую погрешность (e). Обычно 5% (0.05).
4. Оцените ожидаемую долю (p). Если нет данных — p=0.5.
5. Подставьте в формулу. Если N конечна, примените поправку.
6. Увеличьте на процент отказов. Если предполагаете 20% отказов — умножьте n на 1.25.
7. Округлите вверх.

Для упрощения используйте Калькулятор размера выборки для опроса и Калькулятор размаха выборки для дополнительных метрик.

Задача 1. Бесконечная популяция, 99% доверие, погрешность 3%, p=0.5. Каков объём выборки?
Ответ: n = (2.58²×0.5×0.5)/0.03² = 1849.

Задача 2. N=200, погрешность 5%, 95% доверие, p=0.5. Сколько опросить?
Ответ: n_adj = 385/(1+384/200) ≈ 134.

Задача 3. В прошлом 70% были довольны. Погрешность 4%, 95% доверие, N=5000. Найдите выборку.
Ответ: n = (1.96²×0.7×0.3)/0.04² = 504.2 → 505; n_adj = 505/(1+504/5000) ≈ 459.