Расчёт теоремы косинусов: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что вы разрезаете круглую пиццу не по диаметру, а под углом. Чтобы узнать длину разреза, нужна теорема косинусов. Она связывает три стороны треугольника и угол между двумя из них. Если у вас есть две стороны треугольника и угол между ними — вы можете найти третью сторону. Или, зная все три стороны, найти любой угол. Это незаменимо в геометрии, строительстве, навигации и даже в компьютерной графике.

Формула выглядит так:

Где:

• c — сторона, противоположная углу γ (та, которую мы ищем);
• a и b — две другие стороны;
• γ — угол между сторонами a и b.

Если нужно найти угол, формула преобразуется:

Теорема косинусов работает для любого треугольника — остроугольного, прямоугольного или тупоугольного. Для прямоугольного треугольника cos(90°) = 0, и формула упрощается до теоремы Пифагора: c² = a² + b².

У треугольника две стороны: a = 5 см, b = 7 см, угол между ними γ = 60°. Найдём третью сторону c.

Шаг 1. Записываем формулу:

Шаг 2. Подставляем числа:

cos(60°) = 0,5, поэтому:

Шаг 3. Извлекаем квадратный корень:

Ответ: третья сторона ≈ 6,245 см.

Дан треугольник со сторонами a = 8 см, b = 6 см, c = 10 см. Нужно найти угол γ между сторонами a и b (противолежащий стороне c).

Шаг 1. Используем формулу для косинуса угла:

Шаг 2. Подставляем:

Шаг 3. cos(γ) = 0, значит γ = 90°. Треугольник прямоугольный. Проверьте: 10² = 8² + 6² (100 = 64 + 36) — действительно, теорема Пифагора выполняется.

Ответ: угол γ = 90°.

Стороны треугольника: a = 4 м, b = 5 м, c = 8 м. Найти угол γ между a и b.

Шаг 1. Формула:

Шаг 2. Подставляем:

Шаг 3. Косинус отрицательный — значит угол тупой (больше 90°). Чтобы найти угол в градусах, используем арккосинус: γ = arccos(–0,575) ≈ 125,1°.

Обратите внимание: если бы cos(γ) был положительным, угол был бы острым. Ноль — прямой угол.

• Путают стороны и углы. Убедитесь, что угол γ лежит именно между сторонами a и b, а сторона c — напротив этого угла.
• Забывают про знак косинуса. cos(θ) может быть отрицательным, если угол больше 90° — это нормально для тупоугольного треугольника.
• Неправильно подставляют в калькулятор. Следите, чтобы единицы измерения были одинаковыми (см, м, дюймы и т.д.).
• Путают теорему косинусов с теоремой синусов. Теорема косинусов используется, когда известны две стороны и угол между ними, или три стороны. Теорема синусов — для двух углов и стороны.

Если вы сомневаетесь в правильности ручного расчёта, воспользуйтесь нашим Калькулятором теоремы косинусов. Он быстро и без ошибок найдёт сторону или угол.

1. Стороны треугольника: a = 3, b = 4, угол γ = 90°. Чему равна сторона c? (Ответ: 5)
2. Стороны треугольника: a = 7, b = 8, c = 9. Найдите cos угла γ. (Ответ: (49+64-81)/(2·7·8) = 32/112 = 0,2857)
3. В треугольнике a = 10, b = 12, угол γ = 120°. Найдите c. (Ответ: c² = 100+144-2·10·12·(-0,5) = 244+120 = 364, c ≈ 19,08)
4. Может ли теорема косинусов применяться к равнобедренному треугольнику? (Да, если подставить равные стороны)

Проверьте свои ответы с помощью Калькулятора косинуса угла или Калькулятора теоремы косинусов.

Теорема косинусов — это обобщение теоремы Пифагора. Если угол γ = 90°, то cos(90°) = 0, и формула превращается в c² = a² + b². Поэтому для прямоугольных треугольников можно использовать Калькулятор теоремы Пифагора.

Также существует Калькулятор теоремы синусов, который удобен, когда известны два угла и одна сторона. Выбор метода зависит от того, какие данные у вас есть. Запомните простое правило: