Расчёт энергии связи: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что вы собрали из конструктора (протоны и нейтроны) модель ядра. Если вы захотите разобрать её обратно, придётся приложить усилие — это и есть энергия связи. В ядерной физике эта энергия показывает, насколько прочно ядро удерживает свои частицы.

Расчёт нужен, чтобы понять:

• насколько стабильно ядро (высокая энергия — стабильное);
• сколько энергии выделится при ядерной реакции (например, в реакторе);
• какие изотопы можно использовать для энергии.

На практике энергия связи определяет, почему некоторые элементы радиоактивны, а другие — нет. Например, уран-238 менее стабилен, чем свинец-208, именно из-за разной энергии связи на нуклон.

Главная формула — детище Эйнштейна:

Где:

• E — энергия связи, обычно в МэВ или Дж;
• Δm — дефект массы, разница между массой ядра и суммой масс отдельных протонов и нейтронов;
• c — скорость света в вакууме, ≈ 3 × 10⁸ м/с.

Для расчёта в удобных единицах используют:

Почему 931,5? Потому что 1 а.е.м. = 1,66054 × 10⁻²⁷ кг, а c² = 8,98755 × 10¹⁶ (м/с)². Перемножив и переведя в МэВ (1 МэВ = 1,602 × 10⁻¹³ Дж), получаем 931,5 МэВ/а.е.м.

1. Найдите массу ядра в а.е.м. (из таблиц изотопов).
2. Посчитайте сумму масс протонов и нейтронов: Z × m_p + (A − Z) × m_n, где Z — число протонов, A — массовое число, m_p ≈ 1,00728 а.е.м., m_n ≈ 1,00867 а.е.м.
3. Вычтите из суммы массу ядра: Δm = (Z·m_p + N·m_n) − M_ядра.
4. Умножьте Δm на 931,5 — получите энергию связи в МэВ.

Для удельной энергии связи (на нуклон) разделите на A.

Все расчёты можно проверить с помощью Калькулятора энергии связи — он сам выполнит шаги 3-4.

Дано: ядро дейтерия (²H) состоит из 1 протона и 1 нейтрона. Масса ядра дейтерия = 2,01410 а.е.м.

Шаг 1: сумма масс протона и нейтрона = 1,00728 + 1,00867 = 2,01595 а.е.м.

Шаг 2: дефект массы Δm = 2,01595 − 2,01410 = 0,00185 а.е.м.

Шаг 3: энергия связи E = 0,00185 × 931,5 = 1,723 МэВ.

Удельная энергия связи: 1,723 / 2 = 0,8615 МэВ/нуклон.

Маленькая величина — дейтерий слабо связан, поэтому используется в термоядерных реакциях.

Дано: ядро гелия-4 (α-частица) содержит 2 протона и 2 нейтрона. Масса ядра He-4 = 4,00260 а.е.м.

Шаг 1: сумма масс частиц = 2×1,00728 + 2×1,00867 = 2,01456 + 2,01734 = 4,03190 а.е.м.

Шаг 2: Δm = 4,03190 − 4,00260 = 0,02930 а.е.м.

Шаг 3: E = 0,02930 × 931,5 = 27,29 МэВ.

Удельная: 27,29 / 4 = 6,82 МэВ/нуклон.

Гелий-4 гораздо стабильнее дейтерия — это видно по энергии. На этом основано выделение энергии в звёздах.

Дано: U-235, Z=92, N=143, A=235. Масса ядра = 235,04392 а.е.м.

Шаг 1: масса протонов = 92 × 1,00728 = 92,66976 а.е.м.; масса нейтронов = 143 × 1,00867 = 144,23981 а.е.м.; сумма = 236,90957 а.е.м.

Шаг 2: Δm = 236,90957 − 235,04392 = 1,86565 а.е.м.

Шаг 3: E = 1,86565 × 931,5 = 1737,8 МэВ.

Удельная: 1737,8 / 235 = 7,39 МэВ/нуклон.

Это меньше, чем у железа (8,79), поэтому уран может выделять энергию при делении. При делении одного ядра выделяется около 200 МэВ — это легко посчитать Калькулятором энергии.

• Путают массу ядра и массу атома. Масса атома включает электроны — их нужно вычесть. Используйте только массу ядра.
• Забывают, что 1 а.е.м. = 931,5 МэВ. Если вы получили Δm в кг, не забудьте перевести.
• Округляют слишком рано. Промежуточные расчёты ведите с 5-6 знаками после запятой.
• Не проверяют единицы. Убедитесь, что все массы в а.е.м., иначе результат будет неверным.

Совет: для проверки используйте Калькулятор энергии связи — он защитит от ошибок.

1. Найдите энергию связи ядра лития-6 (³Li): масса ядра 6,01512 а.е.м. (3 протона, 3 нейтрона). Ответ: 32,0 МэВ.
2. Чему равна удельная энергия связи углерода-12? Масса ядра 12,00000 а.е.м. (6p+6n). Ответ: 7,68 МэВ/нуклон.
3. Дефект массы кислорода-16 равен 0,1370 а.е.м. Найдите энергию связи. Ответ: 127,6 МэВ.

Если хотите проверить точнее — используйте Калькулятор энергии связи.