Расчёт скалярного произведения: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Представьте, что вы заказываете пиццу: вам нужно 2 большие и 3 маленькие. Стоимость большой — 500 ₽, маленькой — 300 ₽. Чтобы узнать общую сумму, вы перемножаете количество на цену и складываете: 2×500 + 3×300 = 1000 + 900 = 1900 ₽. Вот это и есть скалярное произведение вектора заказа (2, 3) на вектор цен (500, 300). В математике векторы — это просто упорядоченные списки чисел, а скалярное произведение — способ их перемножить, получив одно число.

Официально: скалярное произведение двух векторов a = (a₁, a₂, …, aₙ) и b = (b₁, b₂, …, bₙ) — это сумма произведений их соответствующих координат. Обозначается как a·b или (a,b).

Для векторов на плоскости (двумерных) и в пространстве (трёхмерных) формулы выглядят так:

Где:

• a₁, a₂, a₃ — координаты первого вектора (по осям x, y, z);
• b₁, b₂, b₃ — координаты второго вектора;
• a·b — результат, обычное число.

Если векторы имеют больше измерений, просто добавляйте новые слагаемые: a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ.

Пример 1. Простейший (2D). Даны a = (3, 4), b = (1, 2). Вычисляем: 3·1 + 4·2 = 3 + 8 = 11. Ответ: 11.

Пример 2. Трёхмерный. a = (1, -2, 3), b = (4, 0, -1). Считаем: 1·4 + (-2)·0 + 3·(-1) = 4 + 0 - 3 = 1. Ответ: 1.

Пример 3. С дробями и отрицательными. a = (0.5, -1.5, 2), b = (-2, 0.25, 4). 0.5·(-2) = -1; (-1.5)·0.25 = -0.375; 2·4 = 8. Сумма: -1 - 0.375 + 8 = 6.625. Ответ: 6.625.

Если вам нужно быстро проверить свои расчёты, используйте Калькулятор скалярного произведения — он делает всё за секунду.

Понимание свойств помогает решать задачи быстрее:

• Коммутативность: a·b = b·a — порядок векторов не важен.
• Линейность: (αa + βb)·c = α(a·c) + β(b·c).
• Связь с длиной: a·a = |a|², где |a| — длина вектора.
• Нулевое скалярное произведение: если a·b = 0 и оба вектора ненулевые, то они перпендикулярны (ортогональны).

Например, если a = (1, 0, 2), b = (0, 3, 0), то a·b = 0, значит, векторы перпендикулярны.

1. Путают с векторным произведением. Результат скалярного — число, а векторного — вектор.
2. Не совпадает размерность. Векторы должны быть одинаковой длины: если один двумерный, а другой трёхмерный — перемножать нельзя.
3. Забывают про знак. Произведение отрицательных чисел даёт плюс, но если один множитель отрицательный, знак нужно учитывать.
4. Складывают произведения неправильно. Только соответствующие координаты: a₁ с b₁, a₂ с b₂ и т.д.
5. Округляют промежуточные результаты. Дроби лучше оставлять до конца, иначе накапливается погрешность.

Если сомневаетесь — сверьтесь с Калькулятором скалярного произведения.

Скалярное произведение используется в физике (работа силы), компьютерной графике (освещение), машинном обучении (метрики сходства). Например, в физике работа A = F·s, где F — сила, s — перемещение. Если сила и перемещение направлены одинаково, работа максимальна; если перпендикулярны — работа равна нулю.

Также скалярное произведение лежит в основе многих онлайн-калькуляторов. Например, Калькулятор произведения чисел помогает перемножить несколько чисел, а Калькулятор производной функции — для более сложных математических операций.

Нулевой вектор. Если один из векторов — (0,0) или (0,0,0), то скалярное произведение равно 0, потому что все координаты равны нулю.

Коллинеарные векторы. Если векторы направлены вдоль одной прямой, их скалярное произведение равно произведению длин со знаком (плюс, если направления совпадают, минус — если противоположны). Например, a = (2, 4), b = (1, 2). Длины: |a| = √(4+16)=√20, |b| = √(1+4)=√5. a·b = 2·1+4·2=10. Действительно, |a|·|b| = √20·√5 = √100 = 10.

Если векторы противоположны, например, b = (-1, -2), то a·b = -10.

1. a = (5, -3), b = (2, 4). Найдите a·b. Ответ: 5·2 + (-3)·4 = 10 - 12 = -2.
2. a = (1, 0, -1), b = (2, 3, 4). Найдите a·b. Ответ: 1·2 + 0·3 + (-1)·4 = 2 + 0 - 4 = -2.
3. a = (0.1, 0.2), b = (10, -5). Найдите a·b. Ответ: 0.1·10 + 0.2·(-5) = 1 - 1 = 0.
4. a = (-2, -2, -2), b = (1, 1, 1). Найдите a·b. Ответ: (-2)·1 + (-2)·1 + (-2)·1 = -6.